漫长的课程至此，我们终于可以应用所学的理论工具来分析解决一些实际问题了。我们学习了曲面的代数拓扑和 微分拓扑，de Rham上同调的霍奇理论，作为应用实例，我们讨论如何构造曲面上光滑矢量场的问题，这一问题对于设计卡通动物的毛发具有根本的重要性；同时，这一个例子可以使我们对所学的各种概念融汇贯通。这次课程的视频可以在【1】的后半部找到，具体算法可以在【2】中找到。

根据矢量场的Hopf指标定理，矢量场必有奇异点。假设用户指定了奇异点的位置和指标，我们的算法应该可以自动生成光滑矢量场，具有指定的奇异点。我们的算法用到了Ricci flow，平行移动等概念工具，但最为重要的是holonomy，和用调和微分形式对holonomy的补偿。

平面上的平行移动只和起点和终点有关，和平行移动所经历的路径无关。换言之，如果是平面上的一条封闭曲线，沿着平行移动矢量得到，则和重合。

图2.  高斯-博内定理。

图3.  曲面基本群生成元。

图4.  亏格为0的曲面上只有一个零点的光滑向量场。

图5.  亏格为2的曲面上只有一个零点的矢量场。

图6.  曲面上的矢量场设计，零点由用户指定。

图7.   将曲面转换成编织模型。

图8.  将曲面转换成编织模型。

同样的方法，也可以用于生成曲面上的光滑标架场。如图6所示，曲面上的标架场用于自动生成铅笔素描画，这可以用计算机来模拟艺术家来进行非真实感绘制。图7和图8显示了将曲面自动转换成编织模型，这为数字制造提供了新颖的思路。

References:

【1】http://m.iqiyi.com/w_19rtoay4k9.html#vfrm=8-8-u-1

【2】Lai, Yu-Kun, et al. "Metric-driven rosyfield design and remeshing." IEEETransactions on Visualization and Computer Graphics 16.1 (2010): 95-108.

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2017年7月13日）