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关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论(3)

已有 1132 次阅读 2022-5-9 05:59 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:观点评述

关于哥德尔的不完全性定理的讨论 - 2022/4/20 - 22 https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/12/unilog-2022-godels-incompleteness-theorem-revisited-par-yu-li/


BasicRabbit


@柳渝,你说:与说谎者悖论相似的悖论命题QPM中的不可判定命题吗?

命题Q(封闭式公式)在(1)中被称为G。这个公式,顺便说一下,它不是自相矛盾的,是全称的,更确切地说,在Péano可证明,等同于一个全称公式(2)。在这种形式下,哥德尔定理的陈述是:G是一个算术公式;G被证明Peano—等同于一个封闭的全称公式(就像在毕达哥拉斯定理中!);GPéano算术中不可证;G在算术的标准N模型中是真的(因此G的地位与Goodstein定理的陈述相同,甚至可能与费马-怀尔斯定理的陈述相同:在标准N模型中是真的,但在Péano无法证明)。

@柳渝,你说: “我的批评首先是关于他的哥德尔证明,这可以从非正式方面(证明的思想)和形式方面(证明思想的形式化)来考察。当然,这两个方面是有内在联系的,但为了方便我们的讨论,让我们暂时把重点放在其证明的想法上。

我认为,恰恰相反,我们应该关注形式上的证明,因为该定理是形式逻辑的一个定理,在我看来,仅此而已。当然,在试图验证(或无效)证明时,人们必须关注哥德尔的基本启发式思想(3),它是说谎者悖论和康托尔对角线论证(著名的 "G是一个公式,它说自己在 Péano无法证明")的混合物,因为在我看来--不仅仅是在我看来,我认为--看到一个悖论变成一个定理有神奇的一面。(就我个人而言,在我看来,文章(1)所提供的论据足以让我在我的水平上验证证明。但是,我再说一遍,我的水平一直离顶级非常远)。

1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del#Diagonalisation

2. (1)的备注: “我们注意到,有关的公式G等同于一个通用公式x H(x),其中HΣ0。这个公式为真,对于每一个整数n(用s...s 0表示)H(n)为真,因此可证明是Σ0。因此,正如 "真理和可证明性 "这一段所宣布的,我们有一个普遍的陈述x H(x),它在T[Péano]中不可证明,而对于每个整数nH(n)T中可证明。

3. “启发式方法或启发式方法(来自古希腊的ερίσκωheuriskô »我发现",是通过从不完整的知识中解决问题来 "发明、发现的艺术" ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Heuristique )。在我看来,这个词完全适合哥德尔的不完全性定理("通过不完全知识解决问题"!

柳渝:


谢谢大家的交流! 帮助我澄清自己的想法,并看到其不足。


@BasicRabbit, 你如何理解“G在算术的标准模型N中是真的这句话中的含义?


我和你一样对说谎者悖论神奇地变成定理感到好奇。


我对哥德尔原文第一章的分析表明,一个悖论之所以神奇地变成了一个定理,是因为哥德尔在他的证明中引入了不当的预设


但我的说理目前还不充分,等我读完哥德尔原文的第二章,再继续我们的讨论。




https://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1337657.html

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1 杨正瓴

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