当人们谈论哥德尔不完备性定理时，一般指哥德尔第一不完备性定理和哥德尔第二不完备性定理。

哥德尔1931年的论文（"On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I »）由4章组成：

在第1章，哥德尔概述基于对角线法构造“说自己是不可证明的命题”的主要思想；

第一不完备性定理出现在第2章Proposition VI；

第二不完备性定理出现在第4章的Proposition XI。

一，第一不完备性定理

1，原始陈述 [1]

Proposition VI: For every ω-consistent recursive class c of formulae there correspond recursive class-signs r, such that neither v Gen r nor Neg (v Gen r) belongs to Flg(c) (where v is the free variable of r).

命题 VI：对于每个 ω-consistent递归公式类 c，都存在对应的递归类符号 r，使得 v Gen r 和 Neg (v Gen r) 都不属于 Flg(c)（其中 v 是 r 的自由变量）。

2，现代陈述 [1]

First Incompleteness Theorem: "Any consistent formal system F within which a certain amount of elementary arithmetic can be carried out is incomplete; i.e. there are statements of the language of F which can neither be proved nor disproved in F." (Raatikainen 2020)

第一不完备性定理：任何一致的形式系统F，在其中可以进行一定量的基本算术运算，都是不完备的；也就是说，F的语言存在着既不能证明也不能证伪的语句。（Raatikainen 2020）

二，第二不完备性定理

1，原始陈述 [1]

Proposition XI: If c be a given recursive, consistent class of formulae, then the propositional formula which states that c is consistent is not c-provable; in particular, the consistency of P is unprovable in P, it being assumed that P is consistent (if not, of course, every statement is provable).

命题 XI：如果 c 是给定的递归一致公式类，则陈述 c 是一致的命题公式是不可证明的；特别地，在假设 P 是一致的情况下，P 的一致性在 P 中是无法证明的（如果不是，当然，每个陈述都是可证明的）。

2，现代陈述 [2]

For each formal system F containing basic arithmetic, it is possible to canonically define a formula Cons(F) expressing the consistency of F. 

对于每个包含基本算术的形式系统 F，可以规范地定义一个公式 Cons(F) 来表达 F 的一致性。

Gödel's second incompleteness theorem shows that, under general assumptions, this canonical consistency statement Cons(F) will not be provable in F.

哥德尔第二不完备定理表明，在一般假设下，这个规范一致性陈述 Cons(F) 在 F 中是无法证明的。

参考文献：

【1】https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_Gödel_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf

【2】https://en.wikipedia.org/wiki/Gödel%27s_incompleteness_theorems