关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论 - 2022/4/22 - 25 

（https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/12/unilog-2022-godels-incompleteness-theorem-revisited-par-yu-li/

BasicRabbit

@柳渝， 你问：“在标准的N种算术模型中，G是真的”这句话中，如何理解“真”一词的含义？

这是形式模型理论中的经典定义。一个典型的例子，加法群是群论中的一个模型，语句∀ x∀ y（x+y=y+x）在任何交换群中都是真的，在任何非交换群中都是假的。(由于存在换元群和非换元群，从（哥德尔的！）完备性定理可以看出，这个封闭式公式不是群论的定理）。

我想以下参考资料就足够了：

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les#Les_mod%C3%A8les_dans_le_calcul_des_pr%C3%A9dicats (第一个例子显示了如何使用完备性定理对一个公式进行语义证明）。

对于更正式的介绍（在Zermelo和Fraenkel的集合理论框架内）：

 https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano#Existence_et_unicit%C3%A9

我认为，这是我的情况，当我们理解了塔尔斯基定理（它对真理的意义就像哥德尔不完全性定理对可证明性的意义一样），我们就对 Peano 算术的标准模型N中的真理有了很好的认识。

 https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Tarski(在仔细的介绍中，模型中的真实性/满足性的概念是递归定义的）。

真理的语义理论归功于塔尔斯基(1)。

PJ en écrit ceci dans « Comment la vérité… » (p.131):

Paul Jorion在“真理与现实是如何创造的”一书中这样写道(p.131):

“一旦人们跟随塔斯基说，如果雪是白色的，那么“雪是白色的”就是真的，那么人们就可以回家了：语句的真假问题不再有被澄清的危险 。 ”

他后来还写道（第300页），在 “真命题的类型目录中：有一些是真的，因为它们的内容是显而易见的[……]也有一些是按惯例是真的，因为它们是定义”。

我几乎不怀疑塔斯基对真理的定义正好符合这个框架，因为他的定义是不言而喻的！他的定义是不言而喻的。另外，与PJ在第131页所写的相反，我认为这个定义不需要启蒙，因为它是发光的（而且是富有成效的--至少从形式主义逻辑学家的角度看是如此）。

皮亚诺算术中对命题s0+s0=ss0的证明--其中s是继任函数的符号--在罗素和怀特海的《数学原理》中占据了整整一页。从完备性定理可以看出，我们在这个算术的所有模型中都有1+1=2。

与PJ在第300页所写的："有一些[命题]是真实的，因为它们的内容是显而易见的，每个人都认为它们是真实的，使它们作为推理的前提是合法的"，以及与他在第272和273页所写的相比。

1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_s%C3%A9mantique_de_la_v%C3%A9rit%C3%A9

Yu LI：

你们所讨论的内容非常丰富，我需要更多时间来消化它。

我对“真”的概念提问，是因为我希望理解哥德尔不完全性定理的常见表达方式：在 Peano 算术中存在“为真但不可证明的”命题。

在我看来，“真”一词有两层含义：

1，存在意义上：真实与想象

2，真值意义上：真和假

按照我的理解， Peano 算术中的“真但不可证明”的命题，首先是一个“真实”的命题，即一个具有确定的真值的命题，要么为真，要么为假，但无法通过Peano算术的证明来确定其真值。

例如，古德斯坦定理，所涉及的古德斯坦序列，是Peano 算术中的一个真实的数学对象，具有确定的真值（为真），只是在Peano算术中无法证明，但在集合论中却可以证明。

然而，如果一个命题所谈论的对象根本不存在，当然此命题是无法证明的，如“现今的法国国王是秃头”（罗素），它既不为真的也不为假的，而是一个错误的命题，因为现今的法国没有国王。在这种情况下，它与古德斯坦定理完全不一样，古德斯坦定理在Peano算术中存在，只是无法证明。

如果哥德尔不完全性定理的证明构造是是一个悖论，那么它就是一个想象的而不是真实的命题。

所以，像你一样，我希望了解哥德尔是如何将一个“想象的”悖论神奇地转变为“真实的”命题的， ...

Paul Jorion ：

“所以，像你一样，我想了解哥德尔是如何将一个 "想象的 "悖论神奇地转变为 "真实 "意义上的 "真实 « 命题的”？

@BasicRabbit，@柳渝，我想向两位指出，我在2009年出版的《真理与现实是如何发明的》一书中提供了详细的解释：

讲自己的公式

那么，我们所见证的是：我证明了一个命题，我发现--这个公式里的密码信息--这个命题对自己说 « 我是不可证明的"。或者，反过来说，我证明了一个命题的否定，我发现这个命题对自己说："在现实中，我是可以证明的--但在我的正面表达下"，这意味着什么呢？

数学的门外汉首先会注意到，算术公式没有语言，所以它不能说任何事情，特别是不能说自己。然而，不仅仅是人类学家和其他哲学家提出了这一常识性的意见，数学家也在他们之前，而且恰恰是与哥德尔第二定理有关，在这个问题上不一定被业界一致接受。事实上，1945年，我在上面关于递归的问题上所引用的R.Daval和G.-Th.Guilbaud，在他们的杰出作品《数学推理》中指出："只有数学家才能说一个命题是可证明的，一个命题不能这样说自己"（Daval & Guilbaud 1945: 45）。

当我证明一个数学命题时，比方说一个定理，而这个定理里面隐藏着 "我是不可证明的 "的说法，最终是我作为一个数学家对这个命题的说法。就我而言，我是一个人类主体，我有能力通过推理来解释为什么我肯定这个命题是可以证明的：这是因为我掌握了一套公理、定理和推理规则，一旦我描画出从公理和定理通向要证明的命题的路径，我就可以说，标出这个路径就等于肯定它确实已经被证明。相反，这个命题不能产生任何东西来支持它的陈述，即它是不可证明的：任何陈述都以一个主体为前提，这个主体通过表达一定程度的坚持来承诺他所陈述的真理（参见我在第二部分以及Jorion 1990a，第20章中关于这个的说法）。一个公式在这方面是无能为力的：它不是一个人的主体，它没有任何话语泛化的工具，使它能够通过灌输证明的通常手段来证明它的可证明性或不可证明性。此外，我不能给它分配任何可能对它的承诺起到积极或消极作用的动机，我不能毫无疑问地假定它在这件事上故意撒谎，但反过来说，我也不能给它分配任何关于它的证明的可能性或其他方面的性质：它既没有能力对自己的性质有充分的了解，也没有能力在这个问题上表达自己。因此，仅仅因为一个公式在元数学层面上说它在数学层面上是可以证明的，并不意味着有任何真实性的保证。

这个命题宣称其不可证明性的来源我们非常清楚：这是一个结果，由其作者寻找，是由所建立的编码系统造成的。我可以很好地想象--因为这只取决于所使用的编码系统的微妙性--一个命题可以在另一个方面对它是的算术命题的可证明性 "犯错误"。我将介绍几个越来越复杂的悖论，这将有助于识别哥德尔的方法。

第一个悖论。亚瑟打开了一个盒子。盒子里有一张纸条，上面写着 "盒子里没有纸条"。阿瑟对自己说："这很奇怪，我可以发誓有一张纸条"。亚瑟是个傻瓜。为什么他是个傻瓜？因为他看到了，以人们可以有效地看到的唯一方式，盒子里有一个信息。上面写着 "盒子里没有纸条 "这一事实不应该影响亚瑟，他的信念应该保持不变。纸条上的信息内容否认了事实，是错误的，亚瑟应该不予理会。

第二个悖论。凭借聪明才智，伊西多尔设法破译了一条信息。然而，当他发现解码后的信息说："你好！"时，他感到很失望。你还没能破译我的意思! 当然，人们可以想象，有几种可能的加密级别，而伊西多尔刚刚发现的只是最简单的一种。然而，如果只有一个层次，伊西多尔的失望是错误的。他为什么要失望呢？因为在现实中，他已经成功地破译了这个信息。信息所表达的只是编码者试图说服解码者他没有完成任务的一种自嘲的尝试。该信息没有权力否认明显的事实：伊西多尔已经成功了。

第三个悖论。尤西比乌斯发明了一种巧妙的密码。从一个中文文本中，该代码生成的法语句子要么说 "Ce que dit cette phrase est vrai"，要么说 "Ce que dit cette phrase est faux"。尤西比乌斯发现，他的系统对他能够提交给它的所有中文文本进行了无可挑剔的分析。一个富有的出版商向他提出以下建议："每评论一个句子，我就给你一百欧元，但如果你的系统是错误的，你的头就会被砍下来。尤西比乌斯应该接受这个诱人的提议吗？这个例子和递归问题之间存在着联系，我们已经看到，严格来说，递归不是一种证明方式，而是一种程序，它通过每一步棋来证实自己的成功，但没有提供任何 "关于实质 "的保证，即它将永远如此。除非尤西比乌斯确信他的程序超过了一个简单的编码系统的能力，换句话说，除非尤西比乌斯确定他的系统实际上 "理解 "了中文，并根据这种理解做出了无懈可击的判断，否则我们会建议他不要接受这位百万富翁的提议。

第四种悖论。让我们想象一下，卡西米尔，一个极其娴熟的密码学家，已经完善了允许他做以下事情的代码：从根据圣马太福音的文本开始，该系统产生了一个又一个完全正确的 "三个火枪手 "的句子。卡西米尔非常惊讶地发现--与文本的其他部分相冲突--"我将坐在我父亲的右手边 "这句话被加密系统自动翻译成 "实际上是在他叔叔的右手边"。我们该如何看待卡西米尔的惊愕呢？如果是由于他看到了他所开发的密码的局限性，他应该得到安慰，通过进一步的努力，他可能会改进他的系统。另一方面，如果他的惊讶是由于他假设自己发现了关于基督教的一个令人费解的秘密，那么他就是一个傻瓜：他的系统工作到文本中的罪状句子，然后又开始工作，但他证明自己没有能力在那个确切的点上将福音书翻译成大仲马的小说。看到编码将这两个文本联系得如此完美，卡西米尔已经相信，他与这两个文本中的至少一个联系在一起的神圣保证也附在他所开发的编码上。毫无疑问，这是他发明的，但这种翻译的可能性所附带的超现实性使他相信，只有神圣的灵感才能解释其起源。因此，在他眼里，单独突出的句子不能不说是重要的。

亚瑟、伊西多尔、尤西比乌斯和卡西米尔有什么共同点？他们忽略的是，在每一种情况下，信息的内容仍然在它所评论或表达的情况之外。它们表面上的巧合并不是它们同质性的结果：它是一个伪装的结果，在背景中显示出一个人类行为者，他能够在充分了解事实的情况下评估情况，然后他是评论的真正作者。就像伊西多尔、尤西比乌斯和卡西米尔那样的密码，无论设计得多么巧妙，编码产生的信息和编码的信息仍然彼此陌生，无论如何努力将它们不可分割地联系起来。它们确实可以相互转换，但它们并没有获得一个独特的身份，从而有可能对其中一个进行审问，并从它那里获得关于另一个的合理答案。

这里的混淆可能是由于编码和翻译这两个词在通常情况下的互换性所造成的。虽然从一种语言翻译过来的句子原则上指的是与原句完全相同的现实，但编码的句子通常不是这样：相反，编码的目的就在于它不是这样。如果我说 "我正在切这个苹果 "或 "我正在切这个苹果"，那么在这个过程的最后，同一个苹果会被分成两半。但如果我说 "小提琴的长啸"，对那些懂得听的人来说，这意味着 "诺曼底登陆将在明天开始"。翻译中所包含的事态的一致性并不是因为某些句子能够在不同的语言中 "谈论同样的事情"，它来自于译者为了这个结果而进行的有意的活动--他可能或多或少有些天赋--就像编码信息的隐秘性来自于编码者隐藏其最初含义的意图一样。举个历史的例子："In search of lost time "是翻译成 "寻找失去的时间 "还是 "回忆过去的事情 "更令人高兴？

当哥德尔写到他的可证伪命题说它本身是不可证伪的，"......只是后来（在某种程度上是偶然的）发现这个公式正是命题本身所表达的公式"（哥德尔1992[1962]：41），那么人们就有权问他这个 "偶然 "的确切性质是什么，使一个命题的可证伪性的元数学评论发现自己被编码在其语句中。他是否认真地暗示，这种编码不是他这个数学家为获得这种编码所做的大量努力的结果？他是在暗示，如果没有努力，就会有一个简单的启示？对于这最后一个问题--正如我们在上面问自己时已经怀疑的那样，"真命题从何而来？- 答案实际上是，"是的"。