博文
任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的公式解
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任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的公式解
中国科学院力学研究所吴中祥
提 要
突破了历代数学家近500年的努力，至今尚未得到大于4次代数方程的公式解，特别是，具体分析1830年，伽罗华(Galois, E.)给出 所谓“代数方程能够根式求解的判据”后，使得学术界似已公认“n>4不可约代数方程没有根式解”的误解，而仅引进2次的根式，全面、具体给出了任意n次不可约代数方程的公式解。
必将促进各种数学问题产生革命性的发展。
关键词：不可约代数方程公式解根式伽罗华理论
引言
早在公元前3世纪，就已得出2次不可约代数方程的根式解(“根式”即：根号内为方
程系数的函数，勿与数字的根号相混淆)。但是，只到公元16世纪，才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。
而此后的近5个世纪，虽有许多人寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能成功。
对于任何代数方程求解过程中，都是采用变换变量，和对其各系数作某种有理运算和添加“根式”，而使其各根在复平面上移动、转动、变换，而使方程有不同的形式，这些不同形式的方程中，就形成相应的根式。伽罗华从已有的解法都引进了含有方程系数函数的2次、3次的根式，并分析各根式群的特点，而给出“代数方程能够求得根式解的判据”之后，阿贝尔(Abel, N.N. 1830) 就据此，首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，学术界就似已公认n>4 的不可约代数方程没有根式解[1] 。
因而，对于n>4 的不可约代数方程，就只能在具体分析其各“解”所在数域的基础上，数值地逼近，或引入某些特殊函数，求解。这当然就给许多实际问题和理论工作，因没有相应方程的公式解，而造成许多限制和不便。
其实，本人2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”
http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html
已具体分析得到： 伽罗华理论[2][3]，确可证明方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。
因此，伽罗华 理论所证明的，实际上，只是“在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4”，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。
显然，其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，并非所解方程的次数n，按伽罗华理论，完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，等于所解方程的次数n，或两者有任何关系的根据。阿贝尔也未能给出n>4的不可约代数方程就没有根式解的任何根据。
因而，按伽罗华 理论，迄今似已公认的“n>4的不可约代数方程没有根式解”的结论，只有当n*等于n时，才能得出。
但是，n*并不必须等于n，例如本文采用的如下各种解法，就能n*始终保持小于4，
而与正确理解的伽罗华理论，并不矛盾地，求得任意n次不可约代数方程的根式解。
本人2014年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解及其有解判据”
http://blog.sciencenet.cn/blog-226-840162.html
更从求解代数方程过程中，变换变量、引入根式，所形成的群，具体分析说明，伽罗
华理论，并具体给出了任意5次、6次代数方程的根式解法及其实例。还推广到m逐次增大的，任意n=2m和2m+1次代数方程的根式解的相应解法。
具体表明：任意n次不可约代数方程都完全可以解得根式解。
其中，添加的根式都小于4，因而，都具体表明：对伽罗华 理论的如上的理解才是正确的，与实际相符，而不矛盾的。也都更为有力的表明：纠正“通常错误理解伽罗华理论”的正确和必要。
进而，“任意n次不可约代数方程的根式解及其有解判据（简）”
http://blog.sciencenet.cn/blog-226-841330.html
指出：一般而言，任意负实数，-s，的j次根式，(-1)^(1/j) s^(1/j), 就产生了以(-1)^(1/j)所标志的各自与实数不同的数类。
当j=2，(-1)^(1/,2)就被定义为i，标志该数是所谓“虚数”。
但是，当j=其它数，则实际上都分别是(-1)^(1/,2)的复函数，但是，在解方程时，并不能确定。
这就表明：如果在方程的变换中，出现j大于2的 (-1)^(1/n)，就不能仅由实数、虚数，或复数而得解。只有分别得到含有(-1)^(1/n)和仅含(-1)^(1/2)的解后，才可得出(-1)^(1/n)为(-1)^(1/,2)相应的复函数。
通常方程的解，引进了大于2次的根式，实际上，就尚未得到方程确切的解。
因而，在解任意n次不可约代数方程时，采用仅引进2次的根式，不致于产生-1的高于2次的根式，就，也才，可确切地得到，仅以实数、虚数或复数表达的确切的公式解。
因而，具体表明：任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数的限制，也不是引进根式次数，不能大于4；而应是不能大于2。
本文，仅引进2次的根式，不致于产生-1的高于2次的根式，而能仅以实数、虚数或复数表达，全面、具体给出任意n次不可约代数方程的确切的公式解，以及各高次更简化的解法，和一些相应的实例。
1. 任意n次不可约代数方程仅引进2次的根式的根式解
任意n次不可约代数方程：
{a*[n,j]x^j; j=0到n求和}=0, (1.1”)
左边是x的 n 次多项式, 它的各系数：a*[n,j]; j=0,1,2, …,n, 都是任意常数。
还总可各项除以a*[n,n]表达为：
x^n+{a[n,j] x^j ; j=0到n-1求和}=0, a[n,j]=a*[n,j]/a*[n,n]， (1.1’)
左边x n 次多项式的各系数：a[n,j]; j=0,1,2,…,n-1, 都是任意常数，又总可经x的变换，x’=x+a’[n,n-1]/n，而有：
x=x’ -a’[n,n-1]/n，
x^2=x’ ^2-2x’ a’[n,n-1]/n +(a’[n,n-1]/n)^2，
x^3=x’ ^3-3x’ ^2(a’[n,n-1]/n)+3x’ (a’[n,n-1]/n)^2-([n-1]/n)^3，
………
x^n=x’[n]^n-nx’ ^(n-1)(a’[n,n-1]/n)+(n(n-1)/2)x’ ^(n-2)(a’[n,n-1]/n)^2
………(j为奇数；为-，j为偶数；为+)(n(n-1) …(n-j)/(j！))x’ ^(n-j)(a’[n,n-1]/n)^j
………(n为奇数；为-，n为偶数；为+) (a’[n,n-1]/n)^n，
而使x方程表达为：
x^n+{a[n,j]x^j ; j=0到n-2求和}=0, (1.1)
的各系数均可由以上各关系式，得出，由x[n]方程各系数的函数具体表达，而a[n,n-1] =0。
方程(1.1)有n个各根，x[j]；j=1,2，到n，各根与各系数有如下关系式：
x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n]=0, (1)
x[1](x[2]+x[3]+…+x[n])+x[2](x[3]+x[4]+...+x[n])+…+x[n-2](x[n-1]+x[n])
+x[n-1] x[n]=a[n-2], (2)
x[1]x[2](x[3]+x[4]+...+x[n])+x[2]x[3](x[4]+x[5]+…+x[n])+…+x[n-2]x[n-1]x[n])
=-a[n-3], (3)
… … … … … … … … … … … …
x[1]x[2]x[3]…x[n-2](x[n-1] +x[n])+x[2]x[3]…x[n]=(n为偶，则-)a[1] (n-1)
x[1]x[2]x[3]…x[n]= (n为奇，则-)a[0], (n)
分别为n个互不相依的方程。
由方程(1)，即得x[1]：
x[1] =-(x[2]+x[3]+…+x[n] +a[n-1]), （1*）
在如上n个方程中，仅以x[1]为变量，其它各x[j];j=2,3,...,n,及方程各系数为参量，就都可由此得到n个，组合数c(n,2)=n(n-1)/2，不相依的代数方程。
这n(n-1)/2个方程中，变量x[2]的次数会有一定的增高。
但是，总可由其中，选取2个，用逐次降幂法，消去x[1]，而得到x[2]表达为其它各
x[j];j=3,4,…,n,及方程各系数为参量的多项式。
类似地，消去x[2]，而得到x[3]表达为其它各x[j];j=4,…,n,及方程各系数为参量的多项
式，组合数c(n,3)=n(n-1)(n-2)/6个，不相依的代数方程。
如此，直到得到x[n-1]表达为仅以x[n]及方程各系数为参量的多项式的组合数c(n,n-1)=2
个不相依的代数方程。
而且，将仅以x[n]及方程各系数为参量的多项式表达的x[n-1]，逐次代入以上x[j];j=n-2,n-3,…,1的各式，就得到它们也都表达为仅以x[n]及方程各系数为参量的多项式。
变量x[n]的次数会很高，却只有组合数c(n,n)=1的唯一1个互不相依的代数方程。
当然，就不能继续用逐次降幂法，得到仅以方程各系数为参量的多项式，而尚不能得
解。
因而，仅由各根与各系数的关系式，用各根的逐次降幂法，还不能得到方程的解。
但是，由(1)与(n)有：(n为奇，则a[0]为- a[0])
x[n-1]+x[n]=-(x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])， (1*)
x[n-1]x[n]= a[0]/(x[1]x[2]x[3]…x[n-2]), (n*)
(x[n-1]+x[n])^2=(x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])^2，
(x[n-1]-x[n])^2
=(x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])^2-4a[0]/(x[1]x[2]x[3]…x[n-2])，
x[n-1]-x[n]=+,-((x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])^2-4a[0]/(x[1]x[2]x[3]…x[n-2]))^(1/2)， (2*)
(1*) - (2*):
x[n]=(-(x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])
-,+((x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])^2-4a[0]/(x[1]x[2]x[3]…x[n-2]))^(1/2))/2， (3*)
由此即得：由x[j];j=1,2,…,n-1,和a[0]表达的x[n]。
(1*) + (2*):
x[n-1]=(-(x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])
+,-((x[1]+x[2]+x[3]+…+x[n-2])^2-4a[0]/(x[1]x[2]x[3]…x[n-2]))^(1/2))/2， (4*)
由此即得：由x[j];j=1,2,…,n-1,和a[0]表达的x[n-1]。
将仅以x[n]及方程各系数为参量的多项式表达的x[j];j=1,2,…,n-1各式代入(3*)
和(4*)，即得仅有x[n]及方程各系数为参量的两个互不相依的方程，而可以用逐次降幂法
解得x[n]表达为仅以方程各系数为参量的多项式。即得x[n]的解。
再将x[n]的解代入仅以x[n]及方程各系数为参量的多项式表达的x[j];j=1,2,…,n-1各式，就得到它们也都表达为仅以方程各系数为参量的多项式。即得各解。
还可以利用方程的各个根都满足原方程，而限制其在各关系式中的次数，都低于原方程的次数，而总能逐次降幂到得解。
方程(1.1) 又可由其各系数，a[n-1,j]，的函数具体表达的如下n-1次方程的多项式，及
其任一根，x[k]，表达为：
(x^(n-1)+{a[n-1,j] x^j ; j=0到n-2求和})(x-x[k])=0,
而方程x^(n-1)+{a[n-1,j] x^j ; j=0到n-2求和}=0，的解，也是方程(1.1)的解，只要解得它的解，就得到任意n次不可约代数方程(1.1)的n-1个解，而另1个解，x[k]，就可由方程(1.1) 各个解与系数的一个关系式，表达为所得各解之和的负值。
如此类推，直到方程成为，x^2+a[2,0]=0,
即由解得此2次方程的解，x[1]=+i a[2,0]^(1/2), x[2]=-i a[2,0]^(1/2), 如此逆推，即得到任意n次不可约代数方程方程(1.1)，仅引进2次根式，的各个解。
综合利用以上各法，就总能，仅引进2次根式，得到任意n次不可约代数方程的根式解。
1.1，按此法，仅引进2次根式，求解任意2次不可约代数方程
2次不可约代数方程：x^2+a1x+a0=0， {1.1.1}
都可由变换y=x+a1/2，x=y-a1/2，x^2=y^2-a1y+a1^2/4,而使
x^2+a1x+a0=y^2-a1y+a1^2/4+a1(y-a1/2)+a0
变换为1次项的系数=0，的如下形式：
y^2+b0=0, b0=a0-a1^2/4, {1.1.1’}
由y2^2 =-b0，解得：
y1=+i(b0)^(1/2), (1’)
y2=-i(b0)^(1/2), (2’)
x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),
x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，
即得任意2次不可约代数方程，仅引进2次根式，的公式解。
1.2.仅引进2次根式，求解任意3次不可约代数方程
任意3次不可约代数方程：x^3+a2x^2+a1x+a0=0，
都可由变换y=x+a2/3，
x=y-a2/3，x^2=y^2-2ya2/3+(a2/3)^2，x^3=y^3-y^2a2+3y(a2/3)^2-(a2/3)^3，
x^3+a2x^2+a1x+a0=0，变换为：2次项的系数=0，的如下形式::
y^3+b1y+b0=0, b1=a1-a2^2/3, b0=a0-a2a1/3+2(a2/3)^3,
此3次不可约代数方程还可以与所设2次不可约代数方程，y^2+b’1y+b’0=0，有如下关系式：
y^3+b1y+b0=(y^2+b’1y+b’0)(y-y3)
=y^3+(b’1-y3)y^2+(b’0-y3)y-b’0y3=0，
则此2次方程，(y^2+b’1y+b’0=0，的各系数都由此3次不可约代数方程各系数表达：
b’1-y3=0, b’1 = y3,
b’0-y3=b1, b’0=b1+y3,
-b’0y3=b0, y3=-b0/b’0=-b0/( b1+y3),
且有,如下2次方程：
y^2+b'1y+b'0=0,
由此，可解得：
y1=-b'1/2+(b'1^2/4-b'0)^(1/2), (1*)
y2=-b'1/2-(b'1^2/4-b'0)^(1/2), (2*)
方程y^3+b1y+b0=0，有y1、y2、y3,的3个根，
由(1*)、(1*)表达的y1、y2，也就是它的2个解。
再由根与系数间的关系式，y1+y2+y3=0，和y1、y2即得y3的解：
y3 =-(y1+y2)=b1， (3*)
即得任意3次不可约代数方程，仅引进2次根式，的3个公式解。
2．任意2m次不可约代数方程，仅引进2次根式，的公式解。
2m (偶数)次不可约代数方程，都可表达为：
x^(2m)+a[2m-2]x^(2m-2) +a[2m-3]x^(2m-3) +…+a[1]x+ a[0]=0,
当然它们也都可按节1，的方法，由其各根与各系数的关系式，逐次按各根逐次降幂得解，但是，当m，较大时，就很麻烦，而还可推广采用如下的简化方法，即：
简法1：
引入函数yi; i=0,1,…,m-1，和常数cj; j=0,1,…,m-1,
并取：
(x^m+y[m-2]x^(m-2)+…+y[1]x+y[0])^2
= x^(2m)
+2y[m-2]x^(2m-2)
+2y[m-3]x^(2m-3)
+(y[m-2]^2+2y[m-4])x^(2m-4)
+(2y[m-2]y[m-3]+2y[m-5])x^(2m-5)
+(y[m-3]^2+2y[m-6])x^(2m-6)
+(2y[m-2]y[m-5]+2y[m-3]y[m-4]+2y[m-7])x^(2m-7)
+… … …
+2y[2]y[m-2])x^m
+(2y[1]y[m-2]+…+2y[m/2-1]y[m/2])x^(m-1)
+(2y[0]y[m-2]+2y[1]y[m-3]+…+2y[m/2-2]y[m/2])x^(m-2)
+(2y[0]y[m-3]+2y[1]y[m-4] +2y[2]y[m-5]+…+2y[m/2-3]y[m/2])x^(m-3)
+… … …
+y[1]^2x^2
+2y[0]y[1]x
y[0] ^2
x^(2m)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+a[0]=0,可改写为：
(x^m+y[m-1]x^(m-1)+y[m-2]x^(m-2) +…+y[1]x+y[0])^2
=((-a[2m-2] +2y[m-2])x^(2m-2)
+(-a[2m-3]+2y[m-3])x^(2m-3)
+(-a[2m-4]+y[m-2]^2+2y[m-4])x^(2m-4)
+(-a[2m-5]+2y[m-2]y[m-3]+2y[m-5])x^(2m-5)
+(-a[2m-6]+y[m-3]^2+2y[m-6])x^(2m-6)
+(-a[2m-7]+2y[m-2]y[m-5] +2y[m-3]y[m-4]+2y[m-7])x^(2m-7)
+… … …
+(-a[m]+y[m/2]^2+2y[2]y[m-2])x^m
+(-a[m-1] +2y[1]y[m-2]+…+2y[m/2-1]y[m/2])x^(m-1)
+(-a[m-2]+y[m/2-1]^2+2y[0]y[m-2]+2y[1]y[m-3]+…+2y[m/2-2]y[m/2])x^(m-2)
+(-a[m-3]+2y[0]y[m-3]+2y[1]y[m-4] +2y[2]y[m-5]+…+2y[m/2-3]y[m/2])x^(m-3)
+… … …
+(-a[2]+y[1]^2 )x^2
+(-a[1]+2y[0]y[1] )x
-a[0]+y[0]^2,
设上式右边成为x函数的完全平方：
(x^m+C[m-1]x^(m-1)+C[m-2]x^(m-2)+…+C[1]x+C[0])^2
= C[m-1]^2x^(2m-2)+…+C[1]^2x^2+C[0]^2
+2(C[m-1]C[m-2]x^(2m-3) +…+C[m-1]C[1]x^(m)+C[m-1]C[0]x^(m-1)
+…+C[1]C[0]x)
由此得到如下关系式：
C[m-1]^2=-a[2m-2] +2y[m-2],
2C[m-1]C[m-2]=-a[2m-3]+2y[m-3],
C[m-2]^2=-a[2m-4]+y[m-2]^2+2y[m-4],
2(C[m-1]C[m-4]+C[m-2]C[m-3])=-a[2m-5]+2y[m-2]y[m-3]+2y[m-5],
C[m-3]^2=-a[2m-6]+y[m-3]^2+2y[m-6],
2(C[m-1]C[m-6]+C[m-2]C[m-5] +C[m-]C[m-4])
=-a[2m-7]+2y[m-2]y[m-5] +2y[m-3]y[m-4]+2y[m-7],
+… … …
C[m/2]^2+2C[m/2-1]C[m/2+1]
=-a[m]+y[m/2]^2+2y[2]y[m-2],(此处，设m为偶数，若为奇数，应取为(2m+1)/2)
2(C[m/2-1]C[m/2]+C[m/2-2]C[m/2+1])
=-a[m-1] +2y[1]y[m-2]+…+2y[m/2-1]y[m/2],
C[m/2-1]^2+2C[m/2-2]C[m/2]
=-a[m-2]+y[m/2-1]^2+2y[0]y[m-2]+2y[1]y[m-3]+…+2y[m/2-2]y[m/2],
2(C[m/2-2]C[m/2-1]+C[m/2-3]C[m/2])
=-a[m-3]+2y[0]y[m-3]+2y[1]y[m-4] +2y[2]y[m-5]+…+2y[m/2-3]y[m/2],
+… … …+
C[1]^2=-a[2]+y[1]^2 ,
2C[1]C[0]=-a[1]+2y[0]y[1],
C[0]^2=-a[0]+y[0]^2,
由此解得：cj; j=0,1,…,m-1,和yj; i=0,1,…,m-2，的仅由此不可约代数方程各系数
表达的函数。
因有：
(x^m+( y[0]+y[1]x+...+y[m-1]x(m-1))^2
=(C[m-1]x^(m-1)+...+C[1]x+C[0])^2，
而将原2m(m>2)次方程改写为：两个含yj; i=0,1,…,m-1，和cj; j=0,1,…,m-1,的2个m
次方程：
x^m+(y[m-1] +C[m-1])x^(m-1) +(a[2m-2]+y[m-2] +C[m-2])x^(m-2)+...
+(a[1]+y[1]+C[1])x+(a[0]+y[0] +C[0])=0,
x^m+ (y[m-1]-C[m-1])x^(m-1)+(a[2m-2]+y[m-2]-C[m-2])x^(m-2)+...
+(a[1]+y[1]-C[1])x+(a[0]+y[0]-C[0])=0,
将cj; j=0,1,…,m-1,和yj; i=0,1,…,m-2，的仅由该不可约代数方程各系数表达的函数代入两个m次x方程，并分别求解，即得：原2m次方程的2m个根，而解得2m(m>2)次不可约代数方程的根式解。即：更为简便地解得偶数次不可约代数方程的根式解。
而且，m次x不可约代数方程，和各yj; i=0,1,…,m-1，的m+1次代数方程的解中，都
不含大于2次根式的根式解，2m次不可约代数方程中也就不含大于2次根式的根式解。
简法2：
对于任意2m次不可约代数方程的多项式都总可表达为：
x^(2m)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+a[0]，
当m>2，还都可改写为如下2个m次不可约代数方程的多项式的乘积，即：
(x^(m)+a’[m-2]x^(m-2) +…+a’[1]x+a’[0]) (x^(m)+a”[m-2]x^(m-2) +…+a”[1]x+a”[0])，有：
0= a”[m-2] a’[1] +a”[m-3] a’[2]+…+ a”[1]a’[m-2]
a[2m-2]=a’[m-2] +a”[m-2] (1+a’[0]) +a”[m-3] a’[1]+…+ a”[0]a’[m-2]
………
a[m+1]=a’[1] +a”[1] +a”[m-2]a’[3]+a”[m-3]a’[4]+…+a”[3]a’[m-2]
a[m]= a’[0] +a”[0] +a”[m-2]a’[2] +a”[m-3]a’[3] +…+a”[2]a’[m-2]
a[m-1]= a”[m-2]a’[1] +a”[m-3]a’[2] +…+a”[1]a’[m-2]
………
a[2]= a”[2]a’[0]+a”[1]a’[1]+ a”[0]a’[2]
a[1]=a”[1]a’[0] +a”[0]a’[1]
a[0]=a”[0]a’[0]
由此解得：各a”[j]、a’[j]；j=0,1, …m-2为a[j]；j=0,1, …2m-2的函数。
即可，分别仅引进2次根式，解得a”[j]、a’[j]；j=0,1, … m-2的2个方程，即得仅引进2次根式，此2m次不可约代数方程的根式解。
2.1.按此法，仅引进2次根式，4次不可约代数方程的根式解
当m=2; n=4, (1)式即任意4次不可约代数方程总可表达为：
x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0=0， (2.1.1’)
取：x=x’+a’3/4,
方程(2.1.1’)都能成为：
x^4+a2x^2+a1x+a0=0， (2.1.1)
a2=6 (a’3/4)^2-3a’3^2/4+a’2
a1=-4(a’3/4)^3+3a’3(a’3/4)^2-a’2a’3/2+a’1
a0=(a’3/4)^4-a’3 (a’3/4)^3+a’2(a’3/4)^2-a’1a’3/4+a’0
:
按简法1：
引入函数y，并取：
(x^2+y)^2=x^4+2yx^2+y^2
将原方程改写为：
(x^2+y)^2+(a2-2y)x^2+a1x+a0-y^2=0, 而有：
(x^2+y)^2=(-a2+2y)x^2-a1x-a0+y^2,
设当上式右边成为x函数的完全平方：
(-a2+2y)x^2-a1x-a0+y^2=(c1x+c0)^2
由(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2, 有：
c1^2= -a2+y, (1)
2c1c0= -a1, (2)
c0^2=y^2-a0, (3)
c0=- 1/2, (a)
c1= a1, (b)
y= (1/4+a0)^(1/2), (c)
(b)，(c)代入(1)：
a2= -a1^2+(1/4+a0)^(1/2), (d)
而原方程可表达为：
(x^2+y)^2 = (c1x+c0)^2, 即可分解为如下2个方程：
x^2+y+(c1x+c0) =0,
x^2+y-(c1x+c0) =0, (2.1.2)
以(a)、(b)、(c)代入(2.1.2)：
x^2+a1x +(1/4+a0)^(1/2) +1/2 =0,
x^2-a1x +(1/4+a0)^(1/2)+1/2 =0, (2.1.2)
分别求解这两个x的2次方程，即得 4次方程(2.1.1)的4个根：
x1=-a1/4+(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2), (2.1.4)
x2=-a1/4-(a1^2/16-(1/4+a0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),
x3=a1/4+(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2)
x4=a1/4-(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),
其中，仅引入了2次的根式，没有更高次的根式。
这样，只需解得2个2次的相应方程，就可更为简便地解得4次的不可约代数方程的根式解。
还可以推广简法2，
任意4次的不可约代数方程总可表达为：
x^4+a2x^2+a1x+a0=0， (2.1.1’)
令：
x^4+a2x^2+a1x+a0
=(x^2+a’1x+a’0)(x^2+a”1x+a”0)
而有：---------------------
a’1+ a”1=0, a’1=- a”1, (1)
a’0+a”0=a2, a’0=a2-a”0, (2)
a”0a’1+a”1a’0=a1, (3)
a”0a’0=a0, (4)
(1)代入(3) ：
(a2-2a”0)a”1=a1, (3’)
(2)代入(4) ：
a”0^2-a2a”0+a0=0, (4’)
a”0(4)- a’0(4’) ：
a”0=-a0a’0/(a0-a2a’0), (4:”)
(4”)代入(2) ：
a’0^2=-1, a’0=+,-i, (a)
(a)代入(2) ：
a”0 =a2-,+i, (b)
(a), (b)代入(3) ：
a”1=-,+i a1+(+,-i -a2)a’1, (3”)
(b)代入(3’) ：
(a2-2(a2-,+i))a”1=a1, (3’)
a”1=a1/(-a2 +,-2i), (c)
(c)代入(1) ：
a’1=- a1/(-a2 +,-2i), (d)
于是，可分别解得2个2次方程：x^2+a’1x+a’0=0，x^2+a”1+a”0=0，的各2个解，而得到，仅引进2次根式，4次不可约代数方程的4个根式解。
2．2．按此法，仅引进2次根式，6次不可约代数方程的根式解
当n=6, 6次不可约代数方程总可表达为：
x’^6+{a’[j]x’^j,j=0到4求和}=0， (2.2.1’)
按简法1：
引入2个函数y1、y2，并取：
(x^3+y1x+y0)^2
=x^6+2y1x^4+2y0x^3+y1^2x^2+2y1y0x+y0^2,
原方程可改写为：
(x^3+y1x+y0)^2
=(-a4+2y1)x^4+(-a3+2y0)x^3+(-a2+y1^2)x^2+(-a1+2y1y0)x+(-a0+y0^2),
设当上式右边成为x函数的完全平方：
有：
(-a4+2y1)x^4+(-a3+2y0)x^3+(-a2+y1^2)x^2+(-a1+2y1y0)x+(-a0+y0^2)
=(c2x^2+c1x+c0)^2
=c2^2x^4+2c2c1x^3+(c1^2+2c2c0)x^2+2c1c0x+c0^2，
由此，即可分别得到：
c2^2=-a4+2y1， c2^2+a4=2y1， (1)
2c2c1=-a3+2y0，c2c1+a3/2=y0， (2)
c1^2+2c2c0=-a2+y1^2， (3)
c1c0=-a1+2y1y0， (4)
c0^2=-a0+y0^2， (5)
而原有改写了的6次方程，(x^3+y1x+y0)^2=(c2x^2+c1x+c0)^2成为如下的2个3次方程：
x^3-c2x^2+(y1-c1)x+(y0-c0)=0,
x^3+c2x^2+(y1+c1)x+(y0+c0)=0, (2.2.1)
以c2、c1、c0、y1、y2相应的解，分别代入(2.2.1)，并解出2个3次方程，即得，仅引进2次根式的，6次不可约代数方程的根式解。
但因，此法，求解c2、c1、c0、y1、y2，的运算仍较繁复，而不宜采用。
按简法2：
任意6次不可约代数方程总可表达为：
x^6+a4x^4+a3x^3+a42x2+a1x+a0=0,
又总可表达为：
(x^3 +a’1x+a’0)(x^3 +a”1x+a”0)=0,
有：
a4=a’1+a”1, (1)
a3=a’0+a”0, (2)
a2=a”1a’1, (3)
a1=a”1a’0+a”0a’1, (4)
a0=a”0a’0, (5)
由此容易解得：
a’0= a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2), (a)
a’1=a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0, (b)
a”0=a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2)), (c)
a”1=a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0), (d)
分别将(c)、(c)、(c)、(c)代入2个3次方程，并解出它们，
x^3 +(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)x
+ a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2)=0，
x^3+(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))x
+a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2))=0,
于是得到：
x1=a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,
x2=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2
+((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4
-(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),
x3=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2
-((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4
-(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),
x4= a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0),
x5=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2
+((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4
(a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),
x6=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2
-((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4
(a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),
即得，仅引进2次根式，任意6次不可约代数方程的根式解。
3. 2m+1次不可约代数方程仅引进2次根式的简化根式解
x^(2m+1)+a[2m-1]x^(2m-1)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+ a[0]=0，
2m+1次方程有2m+1个根x[1],x[2],x[3],…, x[2m+1]。
当然它们也都可按节1，的方法，按其各根与各系数的关系式，这个根，逐次降幂得解，但是，当n=2m+1，较大时，就很麻烦，而还可采用如下的简化方法，即：
2m+1次方程x^(2m+1)+a[2m-1]x^(2m-1)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+ a[0]=0，可以表达为：
(x’^(2m)+ a’[2m-1]x’^(2m-1)+…+a’[1]x’+a’[0])(x’-x)=0, 即：
x’^(2m+1)+(a’[2m-1]-x)x’^(2m) +(a’[2m-2] -xa’[2m-1])x’^(2m-1)
+…+(a’[0]-x)a’[1]x’-xa’[0])，有：
a’[2m-1]-x=0，
a’[2m-2] -xa’[2m-1]= a[2m-1]，
a’[2m-3] -xa’[2m-2]= a[2m-2]，
… … … … … … …
a’[1]-xa’[2]= a[2],
a’[0]-xa’[1]= a[1],
-xa’[0]= a[0],
于是，得到:
a’[2m-1]= x，
a’[2m-2]=a’[2m-1]x+a[2m-1]，a’[2m-2] =a’[2m-1]x +a[2m-1]，
a’[2m-3] =(a’[2m-2]-a[2m-2])/x，
… … … … … … …
a’[2] =(a’[1]-a[2])/x, a’[1]=xa’[2]+a[2],
a’[1] = (a’[0]-a[1])/x, a’[0]=xa’[1]+a[1],
a’[0]= -a[0]/x,
即：全部a’[j]；j=0,1,…,2m都由x和a[j]；j=0,1,…,2m-1表达。
而相当于消去一个根，得到x仅由此2m+1次方程各系数表达的一个2m次方程：
x^(2m)+a[2m-1]x^(2m-1)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+ a[0]=0, (1*) 注意：a[2m-1]不=0，
可采用变换，y=x- a[2m-1]/(2m),使y方程，的b[2m-1]=0，即成为：
y^(2m) +b[2m-2]y^(2m-2) +…+b[1]y+ b[0]=0, (1**)
其中b[j];j=0,1, … , 2m-2 均由a[j];j=0,1, … , 2m-1表达。
按2.节方法，仅需引进2次根式，即可解出此2m次方程(1**) 的各个解，再将此各解变换为变量x，就也即是此2m+1次方程的x[j]；j=1,2,…,2m，的2m个仅由此2m+1次方程各系数,表达的解。
将它们代入，2m+1次方程各根与系数的1个关系式，例如：x[2m+1]=- (x[1]+x[2]+x[3]+…+x[2m])或x[2m+1]=- a[0] /(x[1]x[2]x[3]…x[2m])，即得x[2m+1]仅由此2m+1次方程各系数,表达的解。
这就仅需引进2次根式，解得2m+1次的不可约代数方程的各个解。即：更为简便地解得奇数次不可约代数方程的根式解。
3.1．按此法，仅引进2次根式，5次不可约代数方程的根式解
即将5次方程：
x^5+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由：
(x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x) =x’^5+(a’3-x)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2+(a’0-xa’1)x’-xa’0=0, 表达。
并有x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0, (1) 注意：a3不=0，
取x=y-a3/4,
使(1) 成为：b3=0，的y^4+b2y^2+b1y+b0=0， (1’)
b2=6 (a3/4)^2-3a3^2/4+a2
b1=-4(a3/4)^3+3a3(a3/4)^2-a2a3/2+a1
b0=(a3/4)^4-a3 (a3/4)^3+a2(a3/4)^2-a1a3/4+a0
:
按2.1.节方法，仅需引进2次根式，即可解出4次方程，(1’) ，的各个解，也即是此5次方程仅由方程各系数表达的，yj；j=1,2,3,4，4个解。
y1=-b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2),
y2=-b1/4-(b1^2/16-(1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),
y3=b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2)
y4=b1/4-(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),
再将此各解变换为变量x，就也即是此5次方程的xj；j=1,2,…,4，的4个仅由此5次方程各系数,表达的解。
将它们代入，5次方程各根与系数的1个关系式：x5=- a0/(x1x2x3x4)即得x5仅由此5次方程各系数,表达的解。
这就仅需引进2次根式，即可解得5次的不可约代数方程的公式解。
3.2.按此法，仅引进2次根式，7次不可约代数方程的根式解
即将7次方程：
x^7+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由：
(x’^6+a’5x’^5+a’4x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x)=
X’^7+(a’5-x)x’^6+(a’4-xa’5)x’^5+(a’3-xa’4)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2+(a’0-xa’1)x’
-xa’0=0, 表达。
即得：6次方程x’^6+a’5x’^5+a’4x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0=0，的全部系数a’j ；j=0,1,2,3,4,5都由x7和aj；j=0,1,2,3,4,5，表达。有：
a’5= x, a’4=-(a3/x^2+a4/x), a’3=-(a2/x^2+a3/x), a’2=-(a1/x^2+a2/x),
a’1=-(a0/x^2+a1/x), a’0=-a0/x,
而有x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0, (1) 注意：a5不=0，
取x=y-a5/6,
使(1) 成为：b5=0，的y^6+b4y^4+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0， (1’)
b4=15(a5/6)^2-5a5^2/6+a4
b3=-20(a5/6)^3+10a5(a5/6)^2-4a4a5/6+a3
b2=+15(a5/6)^4-10a5(a5/6)^3+6a4(a5/6)^2-3a3a5/6+a2
b1=-6(a5/6)^5+5a5(a5/6)^4-4a4(a5/6)^3+3a3(a5/6)^2-2a2a5/6+a1
b0=+(a5/6)^6-a5(a5/6)^5+a4(a5/6)^4-a3(a5/6)^3+a2(a5/6)^2+a2(a5/6)^2+a2(a5/6)^2+a0
按2.2.节方法，仅需引进2次根式，即可解出6次方程，(1’) ，各个解，也即是此7次方程仅由方程各系数表达的，yj；j=1,2,3,4,5,6，6个解。
y1=b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0,
y2=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2
+((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4
-(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),
y3=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2
-((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4
-(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),
y4= b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0),
y5=-(b4-(b2a1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2
+((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4
(b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),
y6=-(b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2
-((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4
(b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),
再将此各解变换为变量x，就也即是此7次方程的xj；j=1,2,…,6，的6个仅由此7次方程各系数,表达的解。
将它们代入，7次方程各根与系数的1个关系式：x7=-a0/(x1x2x3x4x5x6), 即得x7仅由此7次方程各系数,表达的解。
这就仅需引进2次根式，即可解得7次的不可约代数方程的公式解。
4．任意n次不可约代数方程均可普遍如此，仅引进2次根式，解得其公式解
当2m次方程的m很大时，还可在解2，节方法中的m次方程时，当m=2p次时，可还采用类似2，节的方法，而只需解相应的p次方程，即可得解；当m=2p+1次时，也还可采用类似3，节的方法，而只需解相应的2p次方程，即可得解。
以此类推，只要按2，节方法解得4次和6次方程，就能简便地解得8次和12次方程
按3，节方法解得5次和7次方程的解，就能简便地解得9次和13次方程，直到按如下重要且有趣的级数（将另文更具体地讨论此级数）：
2,3、
4,6；5,7、
8,12；9,13、10,14；11,15、
16,24；17,25、18,26；19,27、20,28；21,29、22,30、23,31、
32,48；33,49、34,50; 35,51、36,52; 37,53、38,54, 39; 55、
40,56; 41,57、 42,58; 43,59、44,60; 45,61、46,62; 47,63、
………
即：
2^s,3乘2^(s-1)；2^s+1,3乘2^(s-1)+1
2(2^(s-1)+1), 2(3乘2^(s-2)+1)、2(2^(s-1)+1)+1, 2(3乘2^(s-2)+1)+1、
2^2(2^(s-2)+1), 2^2(3乘2^(s-3)+1)、2^2(2^(s-2)+1)+1, 2^23(乘2^(s-3)+1)+1、
………
2^(s-2) (2^2+1), 2^ (s-2) (3乘2+1)、
2^(s-2) (2^2+1)+1, 2^(s-2) (3乘2+1)+1； s=1,2,…,n(任意大的整数)。
就能简便地解得任意n次不可约代数方程的公式解。
因而，仅引进2次根式，即可解得任意n次不可约代数方程的公式解。
伽罗华 [2][3]，虽然推断得出：方程根式解的变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，不能大于4，而实际上，任意n次不可约方程，都可不引进大于2次的根式，而解得根式解，虽都确能满足不大于伽罗华得出的最大指数，却并不能以其，作为任意n次不可约方程是否有解的“判据”。
任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数的限制，而且，实际上，也可以，仅引进2次根式，就得到任意n次不可约代数方程到公式解。
这不仅具体解决了许多实际问题和理论工作，因没有相应方程的公式解，而造成许多限制和不便，而且，会对代数方程，乃至各种数学方程及其解，和各种数学问题产生革命性的发展（都将分别另文具体讨论）。
特别是，高次的偶数次，和奇数次方程均可交替地简化为较低次方程而得解，的方法和规律，已显示出，区分偶数和奇数在求解方程方面的的重要作用，以后，在研讨、发展数论和解析数论等问题中，还会进一步看到它的重要作用。
由于，也只有，解决了任意n次方程，都能仅引进2次根式，而得解，任意n次方程，就都能，也才能，由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达。
由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数的相应组合表达，所有的无理数，就都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。
5．参考文献：
[1]数学百科全书编委（顾问）苏步青等（主任）王元等科学出版社 1994
[2]Basic algebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980
[3] Algebra 1-2 B.I. Van Der Waerden Springer-Verleg 1955-1959
https://blog.sciencenet.cn/blog-226-860084.html
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