任意n次不可约代数方程的公式解

中国科学院力学研究所吴中祥

提       要

历代数学家5百多年的努力，至今尚未得到大于4次代数方程的公式解，特别是， 1830年，伽罗华(Galois, E.)给出 所谓 “代数方程能够根式求解的判据 ”后，使得学术界似已公认“n>4不可约代数方程没有根式解”。

本文具体分析了对伽罗华理论的这种误解，并考虑到(-1)^(1/j);j>2的问题，仅引进2次的根式，全面、突破地，具体给出了任意n次不可约代数方程的公式解。

必将促进各种数学问题产生革命性的发展。

关键词：不可约代数方程公式解根式伽罗华理论(-1)^(1/j);j>2

1.   引言

早在公元前3世纪，就已得出2次不可约代数方程的根式解 (“根式”即：根

号内为方程系数的函数，勿与数字的根号相混淆)，但是，只到公元16世纪，才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。

而此后的近5个世纪，虽有许多数学家寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能成功。

任何代数方程求解过程中，都是采用变换变量，和对其各系数作某种有理运算和添加“根式”，使其各根在复平面上移动、转动、变换，就形成相应的根式，而求得方程的解。

伽罗华从已有的解法都引进了含有方程系数函数的2次、3次的根式，并分析各根式群的特点，而给出“代数方程能够求得根式解的判据”之后，阿贝尔(Abel,N.N.) 就据此，首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，学术界就似已公认n>4 的不可约代数方程没有根式解[1] 。

因而，对于n>4 的不可约代数方程，就只能在具体分析其各解所在数域的基础上，数值地逼近，或引入某些特殊函数，求解。

这当然就给许多实际问题，特别是理论工作，因没有相应方程的公式解，而造成许多限制和不便。

本人2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

已具体分析得到： 伽罗华理论[2][3]，确可证明方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。

可见，伽罗华 理论 所证明的，实际上，只是 “在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4 ”，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

显然，整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，并非所解方程的次数n，按伽罗华理论，完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，等于所解方程的次数n，或两者有任何关系的根据；阿贝尔也就给不出n>4的不可约代数方程没有根式解的任何根据。

因而，按伽罗华理论，迄今似已公认的 “n>4的不可约代数方程没有根式解”的结论，只有当n*等于n时，才能得出。

本人2014年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解及其有解判据”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-840162.html

具体给出了任意5次、6次代数方程的根式解法及其实例。还推广到m逐次增大的，任意n=2m和2m+1次代数方程的根式解的相应解法。

其中，添加的根式都小于4，表明: 对伽罗华 理论的如上理解是符合实际的。

更为有力地表明：纠正 通常错误理解伽罗华 理论的正确和必要。

也具体表明：任意n次不可约代数方程都完全可以解得根式解。

进而，“任意n次不可约代数方程的根式解及其有解判据（简）”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-841330.html

具体指出：一般而言，任意负实数，-s，的(1/j)次根式，(-1)^(1/j) s^(1/j), 就产生了以(-1)^(1/j)所标志的各自与实数不同的数类。

当j=2，(-1)^(1/,2)就被定义为i，标志该数是所谓“虚数”。

当j=其它数，则(-s)^(1/j)实际上都分别是由实数、虚数组成的复数，但是，在方程尚未解得时，并不能确定。

这就表明：如果在方程的变换中，出现j大于2的(-s)^(1/j); s为方程系数的函数，就不能仅由实数、虚数，或复数而得解，实际上，就尚未得到方程确切的解。

因而，在解任意n次不可约代数方程时，只有仅引进2次的根式（比伽罗华理论所要求的不大于4，更加严厉得多），不致于产生-1的高于2次的根式，才可得到，仅以实数、虚数或复数表达的确切的公式解。

    本文，仅引进2次的根式，不致产生-1的高于2次的根式，而能仅以实数、虚数或复数表达，全面、具体给出任意n次不可约代数方程的确切的公式解。

2. 任意n次不可约代数方程的基本特性

任意n次不可约代数方程：

{a*[n-j]x^j; j=0到n求和}=0,                            (2.1*)

左边是x的 n 次多项式, 它的各系数：a*[n-j]; j=0,1,2, …,n, 都是任意常数。

还总可各项除以a*[n]表达为：

{a[n-j]x^j; j=0到n求和}=0,           (2.1)

左边x多项式的各系数： a[n]=1, a[n-j] =a*[n-j]/a*[n]，; j=1,2,…,n,

   设(2.1)方程的各根是: xj; j=1到n，则其各根与其多项式各系数有如下关系式：

xj,j=1到n求和= a[n0]，

xj1xj2,j2=j1-1,j1=1到n求和, j2=j1-1到n-j1求和= a[1]，

…  …  …    

xj1xj2…xjk = a[n-jk]，n-jk为偶，a[n-jk]为-；n-jk为奇，a[n-jk]为+，                          

xj1xj2…xjk(jk=n) = a[0]，n为偶，a[0]为-；为奇，a[0]为+，(2.2)

又总可经x的变换，x*=x+a[n-1]/n，而使方程表达为：

x*^n +{a*[n-j]x^(n-j) ; j=2到n求和}=0,                           (2.3)

其各系数{a*[n-j], j=1到n,  均可由方程各系数(a[n-j]; j=1,2,…,n的函数具体表达，而其中, a*[n-1] =0。

3.     当n=2m

方程成为:

x^(2m) +{a[2m-j]x^(2m-j) ; j=1到2m求和}=0,            (3,1)

  可表达为：

(x^m+{a1[m-j]x^(m-j); j=1到m求和})

(x^m+{a2[m-j]x^(m-j) ; j=1到m求和})=0,              (3,2)

 而有如下2m个公式：

a1[m-1]+a2[m-1]=a[2m-1]=0，

21[m-1]a2[m-1]+a1[m-2]+a2[m-2]=a[2m-2]，

a1[m-1]a2[m-2]+a1[m-2]a1[m-2]+a1[m-3]+a2[m-3]=a[2m-3]，

2a1[m-2]a2[m-2]+a1[m-1]a2[m-3]+a2[m-1]a1[m-3]+a1[m-4]+a2[m-4]=a[2m-3]，

+………

+a1[m-1]a2[1]+a2[m-1]a1[1]+a1[m-2]a2[2]+a2[m-2]a1[2]

+………

+a1[m-1]a2[ 1] + a2[m-1]a1[1]+2 a1[0]a2[0]=a [0]，        (3,3)

   由(3,3)，可解得：由a[2m-j]; j=2到2m表达的a1[m-j]; j=1到m和

a2[m-j] ; j=1到m各值。

   即可仅引进2次的根式，分别解出此2个m次方程的m个解，得到原2m次方程的2m个解。

4.     当n=2m+1

方程(2.1)成为:

x^(2m+1) +{a[2m+1-j]x^(2m+1-j) ;j=1到2m求和}=0,     (4,1)

   变换变量：x*=x- a[2m]/(2m+1)，而使(4,1)成为：

x*^(2m+1) +{a*[2m+1-j]x^(2m+1-j) ;j=2到2m求和}=0,    (4,2)

   其a*[2m]=0，a*[2m+1-j]; j=2到2m，都由a[2m+1-j]; j=1到2m的相应函数表达，

   于是，(4,2)都可由其各根与各系数的关系式，解得x*各根，再变换为(4,1)的x各根。

5．当n=2

   按第3节，

2次不可约代数方程：x^2+a1x+a0=0，          {5.1}

由变换y=x+a1/2，x=y-a1/2，x^2=y^2-a1y+a1^2/4,而使

x^2+a1x+a0=y^2-a1y+a1^2/4+a1(y-a1/2)+a0

变换为1次项的系数=0，的如下形式：

y^2+b0=0,  b0=a0-a1^2/4,                     {5.1’}

由y2^2=-b0，解得：

y1=+i(b0)^(1/2),             (1’)

y2=-i(b0)^(1/2),              (2’)

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),   (1)

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)， (2)

  即可仅引进2次的根式，得任意2次不可约代数方程，仅引进2次根式，的公式解

6．当n=3

   按第4节，

3次不可约代数方程：

x^3+a2x^2+a1x+a0=0，                                         (4,2)

作变换：,x=y-a2/3,

x^2=y^2-2a2y/3+a2^2/9,

x^3=y^3-a2y^2+a2^2y/3-a2^3/27

  x方程变换为：

y^3+b1y+b0=0,其中， b1=a2^2/3, b0=a0-a2a1/3+2a2^3/27,          (4,3)

  y方程有3个根：y1、y2、y3，

  方程的根与系数有如下关系：

y1+y2+y3=0， y3= -(y1+y2),   (1)

(y1+y2)y3+y1y2=b1,          (2)

y1y2y3=-b0,                 (3)

   (1)代入(2)、(3)，消去y3:

(y1+y2)^2=y1y2-b1，即：

y1^2+y1y2+y2^2+b1=0,                  (2’)

y1y2(y1+y2)=-b0，即：

y1^2y2+y1y2^2+b0=0,                    (3’)

   由（2’)解得：

y1=-y2/2+,-(y2^2/4-(y2^2+b1))^(1/2),        (2”)

   由(3’)解得：

y1=-y2^2/2+,-(y2^4/4-b0)^(1/2),         (3”)

(2”)-(3”), 消去y1:

y2^2/2-y2/2=+,-((y2^4/4-b0)^(1/2)-(y2^2/4-(y2^2+b1))^(1/2)),即：

((y2^2/2-y2/2)-,+(y2^4/4-b0)^(1/2))^2=y2^2/4-(y2^2+b1),即：

(y2^2/2-y2/2)-,+(y2^4/4-b0)^(1/2)=(3y2^2/4+b1)^2,即：

(y2^2/2-y2/2)-,+(y2^4/4-b0)^(1/2)=(9y2^4/16+3b1y2^2/2+b1^2),即：

(y2^4/4-b0=(9y2^4/16+(3b1-1)y2^2/2+y2/2+b1^2)^2,即：

(9/16)^2y2^8+(9/16)(3b1-1)y2^6+(9/32)y2^5+(27b1^2/2+6b1-2)y2^4/4

         +(3b1-1)b1^2y2^2+b1^4+b0=0,      (4)

   因y2是方程的根，（由(2’)-(3’)也得到）有：

y2^3+b1y2+b0=0,                                         (5)

  (4)-(9/16)^2y2^5(5):

(9/16)((45/16)b1-1)y2^6-((9/16)^2b0-9/32)y2^5+(27b1^2/2+6b1-2)y2^4/4

        +(3b1-1)b1^2y2^2+b1^4+b0=0,                     (6)

  (6)-(9/16)((45/16)b1-1)y2^3(5):

-((9/16)((45/16)b1-1)b1+(9/16)^2b0-9/32))y2^5

+((27b1^2/2+6b1-2)-(9/4)((45/16)b1-1)b0)y2^4/4

        +(3b1-1)b1^2y2^2+b1^4+b0=0,                     (7)

(7)+((9/16)((45/16)b1-1)b1+(9/16)^2b0-9/32))y2^2(5):

((9/4)((45/16)b1-1)b1+(9/8)^2b0-9/8)b1

+(27b1^2/2+6b1-2)-(9/4)((45/16)b1-1)b0)y2^4/4

+((3b1-1)b1^2+(9/16)((45/16)b1-1)b1+(9/16)^2b0-9/32)b0)y2^2

+b1^4+b0=0,   即：                                       ((9/4)((45/16)b1^2-b1)+(9/8)^2b1b0-9b1/8)

+(27b1^2/2+6b1-2)-(9/4)((45/16)b1b0-b0))y2^4/4

+((3b1^3-b1^2) +(9/16)((45/16)b1^2-b1)+(9/16)^2b0^2-9b0/32))y2^2

+b1^4+b0=0,    即：

((9/16)((6+45/16)b1^2-(9/4)^2b1b0+2/3b1+(9/4)b0-9/2))y2^4

+(3b1^3 +(9/16)((39/16)b1^2-b1)+(9/16)^2b0^2-9b0/32))y2^2

+b1^4+b0=0,                                          (8)

(8)-((9/16)((6+45/16)b1^2-(9/4)^2b1b0+2/3b1+(9/4)b0-9/2))y2(5):

c2y2^2-c0=0,                                          (9)

c2=((9/16)((34/3+45/16)b1^3-(9/4)^2b1^2b0+(2/3+39/16)b1^2+(9/4)b1b0

    -9b1/2-b1+(9/16)^2b0^2-9b0/32)

c0=(b1^4+(9/16)((6+45/16)b1^2b0-(9/4)^2b1b0^2+2/3b0b1+(9/4)b0^2-49b0/18)

即得仅引进2次根式，3次不可约代数方程的3个根式解：

y2=(c0/c2)^(1/2),  x2=-c2/3+(c0/c2)^(1/2),

y2代入(3”)：

y1=-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2),x1=-c2/3-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2),          

   y2、y2代入(1)：

y3=-(-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2)+(c0/c2)^(1/2)),  

  x3=-c2/3-(-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2)+(c0/c2)^(1/2)),

7．当n=4

   按第3节，

任意4次不可约代数方程总可表达为：

x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0=0，                           (7.1’)

取：x=x’+a’3/4,

方程(7.1’)成为：

x^4+a2x^2+a1x+a0=0，                           (7.1)

a2=6 (a’3/4)^2-3a’3^2/4+a’2

 =-(3/8) a’3^2/4+a’2，

a1=-4(a’3/4)^3+3a’3(a’3/4)^2-a’2a’3/2+a’1

 =(1/8) a’3^3-a’2a’3/2+a’1，

a0=(a’3/4)^4-a’3 (a’3/4)^3+a’2(a’3/4)^2-a’1a’3/4+a’0

 =-(3/4^3) a’3^4+a’2(a’3/4)^2-a’1a’3/4+a’0，

令：

x^4+a2x^2+a1x+a0=(x^2+a*1x+a*0)(x^2+a”1x+a”0)，而有：---------------------

a*1+ a”1=0,    a*1=-a”1,         (1)

a*0+a”0=a2,    a*0 =a2-a”0,       (2)

a”0a*1+a”1a*0=a1,               (3)

a”0a*0=a0,                      (4)

(1)  、(2) 代入(3) ：

a”1=a1/a2,                                    (a)

(a)代入(1) ：

a *1=-a1/a2,                                   (b)

(1)  代入(4) ：

a”0^2-a2a”0+a0=0,   a”0=a2/2+,-(a2^2/4-a0)^(1/2),  (c)

(c)代入(2) ：  

a*0 =a2 /2-,+(a2^2/4-a0)^(1/2),                    (d)

于是，可分别解得2个2次方程：x^2+a*1x+a*0=0，x^2+a”1+a”0=0，的各2个解，而得到，仅引进2次根式，4次不可约代数方程的4个根式解。

8．当n=5

   按第4节，任意5次方程，都可变换为：

x^5+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,                               (8.1)

    其各根与各系数的关系式为：

x1+x2+x3+x4+x5=0,    x1=-(x2+x3+x4+x5),                  (1)

x1(x2+x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5)+x3(x4+x5)+x4x5=a3,

x1=(a3-x2(x3+x4+x5)-x3(x4+x5)-x4x5)/(x2+x3+x4+x5),    (2)

x1x2 (x3+x4+x5)+x2x3(x4+x5)+x3x4x5=-a2,

x1=-(a2+x2x3(x4+x5)+x3x4x5)/(x2(x3+x4+x5)),           (3)

x1x2 x3(x4+x5)+x2x3x4x5=a1,

  x1 =(a1-x2x3x4x5)/(x2x3(x4+x5)),                      (4)

x1x2 x3x4x5=-a0,

x1=-a0/(x2x3x4x5),                                   (5)

  各根均满足原方程,有：

xj^5+a3xj^3+a2xj^2+a1xj+a0=0, j=1到5                     (6)

(8.1)可表达为：

(x-x1)(x^4+a*3x^3+a*2x^2+a*1x+a*0) =0,                    (8.1*)

   有：

x1+a*3=0，     a*3=-x1，                          (1*)

x1a*3+a*2=a3，a*3^5+a3a*3^3+a2a*3^2+a1a*3+a0=0，  (2*)

x1a*2+a*1=a2，a*2=(a0-a1x1+a2x1^2)/x1^3，           (3*)

x1a*1+a*0=a1，a*1=-(a0-a1x1)/x1^2，                 (4*)

x1a*0=a0，    a*0=a0/x1，                          (5*)

   由如上系数的4次方程：

x^4+a*3x^3+a*2x^2+a*1x+a*0=0，                    (8.2)

    解得它的4个解，就是以原5次方程的一个解，x1，表达的另外4个解。

    由原5次方程5个根的关系式：  x1+x2+x3+x4+x5=0,得到x1的一个方程，

再与x1满足原5次方程的方程式逐次联立降幂，求得x1的解，再代入得到其它各解。

因而，得到，仅引进2次根式，5次不可约代数方程的5个根式解。

9．当n=6

   按第3节，任意6次方程，都可变换为：

x^6+a4x^4+a3x^3+a42x2+a1x+a0=0,                (9.1)

又总可表达为：

(x^3 +a’1x+a’0)(x^3 +a”1x+a”0)=0,                  (9.2)

   有：

a4=a’1+a”1,            (1)

a3=a’0+a”0,           (2)

a2=a”1a’1,            (3)

a1=a”1a’0+a”0a’1,      (4)

a0=a”0a’0,            (5)

   由此解得：

a’0= a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2),                              (a)

a’1=a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,       (b)

a”0=a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2)),                          (c)

a”1=a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0),   (d)

分别将(a)、(b)、(c)、(d)代入2个3次方程，并解出它们，

x^3 +(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)x

+ a3/2+,-(a3^2/4-a0)^(1/2)=0，

x^3+(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0))x

+a0/(a3/2+,-(a3^2/4-a0)^(1/2))=0,

  于是得到：

x1=a2a1(a3/2+(a3^2/4-a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,

x2=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

 +((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

   -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x3=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0)/2

 -((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

   -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x4= a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0),

x5=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0))/2

 +((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

   (a0/(a3/2+,-(a3^2/4-a0)))^(1/2),

x6=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0))/2

 -((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

  (a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

即得，仅引进2次根式，任意6次不可约代数方程的根式解。

10．任意n次不可约代数方程均可普遍如此，仅引进2次根式，解得其公式解

各次方程都可变换变量使第2项=0，并利用各根均满足方程，及其与系数的关系，逐次求解。

对于n=2m次方程，还可采用第3节的方法，而只需解相应的2个m次方程，简化得解。

对于m=2p次方程，也可采用第3节的方法，而只需解相应的2个p次方程，简化得解。

因此，n=2任意方次的方程都可如此简化得解。

   对于n=2m+1次方程又都可类似5次方程的方法求得以其一个解，x1，表达的其它2m个解，再由原2m+1次方程2m+1个根的关系式：  xj，j=1到2m+1求和=0, 得到x1的一个方程，

再与x1满足原2m+1次方程的方程式逐次联立降幂，求得x1的解，再代入得到其它各解。

因而，得到，仅引进2次根式，2m+1次不可约代数方程的2m+1个根式解。

因而，仅引进2次根式，即可解得任意n次不可约代数方程的公式解。

伽罗华虽然推断得出：方程根式解的变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，不能大于4，而实际上，任意n次不可约方程，都可不引进大于2次的根式，而解得根式解，虽都确能满足不大于伽罗华得出的最大指数，却并不能以其，作为任意n次不可约方程是否有解的“判据”。

任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数的限制，而且，实际上，也可以，仅引进2次根式，就得到任意n次不可约代数方程到公式解。

这不仅具体解决了许多实际问题和理论工作，因没有相应方程的公式解，而造成许多限制和不便，而且，会对代数方程，乃至各种数学方程及其解，和各种数学问题产生革命性的发展（都将分别另文具体讨论）。

   特别是，高次的偶数次，和奇数次方程均可交替地简化为较低次方程而得解，的方法和规律，已显示出，区分偶数和奇数在求解方程方面的的重要作用，以后，在研讨、发展数论和解析数论等问题中，还会进一步看到它的重要作用。

由于，也只有，解决了任意n次方程，都能仅引进2次根式，而得解，任意n次方程，就都能，也才能，由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达。

由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数的相应组合表达，所有的无理数，就都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。