非线性模态描述在特定条件下系统响应所包含的单频成分的模态。是模态概念在非线性振动系统中的推广。

非线性模态的概念最初由R. M. 罗森伯格(Rosenberg)在1966年提出。针对无阻尼非线性振动系统，他将非线性模态定义为系统的同频或一致运动，系统各广义坐标同时达到极值和同时通过平衡位置；若各广义位移之间存在线性关系，则称之为相似非线性模态；否则即为非相似非线性模态。这种定义有内在局限性，仅限于无阻尼系统，而且在有内共振情形系统可能出现快慢运动破坏了非线性模态所要求的一致性。1991年，S. W. 肖(Shaw)和C. 皮勒(Pierre)提出了阻尼非线性系统的非线性模态，把相空间的不变流形定义为非线性模态，这样初始位移和速度符合某一非线性模态或在该其吸引盆内，随后系统就按该非线性模态运动。通常理解的模态即固有模态具有模态振动的各自由度同频性、对初始条件的不变性、模态间不传递能量的正交性和系统响应为模态振动的叠加性。复模态不具有不变性。非线性系统通常不具有正交性和叠加性，最初的无阻尼非线性模态保留同频性而不要求不变性，后来的阻尼非线性模态保留不变性而不要求同频性。

非线性模态具有若干基本性质。第一，振动频率依赖于激励幅值。即使系统做同频周期运动，其频率也与初始激励或初始能量有关。第二，在线性派生系统的固有频率不能有理通约时，非线性模态间仍可能存在内共振使得模态间有能量交换。第三，非线性模态的数目和稳定性可能随着系统参数变化，也可能随着系统能量变化。非线性模态的数目可能多于系统自由度数，存在不稳定的非线性模态。从这些性质看，与线性模态有显著的差别。

非线性模态可以用解析方法或近似解析方法确定。解析方法有基于能量分析的方法，但应用过程中需要某种对称性，目前只适用于奇数阶非线性项的情形；还有不变流形方法，其中用到幂级数展开，因此只适用于运动幅值较小的情形。近似解析方法有多尺度法，适用于非线性较弱的情形；还有谐波平衡法，可应用于强非线性的情形，但尽管可以进行符号运算，分析自由度数较大的系统仍很复杂。非线性模态也可以用数值方法进行计算。

虽然上述说明主要是针对离散振动系统，非线性模态的概念也可以应用于连续振动系统。虽然非线性系统因叠加原理不成立而限制了非线性模态的应用，非线性模态仍可望成为分析非线性振动系统的有力工具。

扩展阅读

R. M. Rosenberg. On nonlinear vibrations of systems with many degree of freedom. Advances in Applied Mechanics, 1966, 9: 155-242.

S. W. Shaw, C. Pierre. Non-linear normal modes and invariant manifolds. Journal of Sound and Vibration, 1991, 150: 170-173.

A. F. Vakakis. Non-linear normal modes and their applications in vibration theory: an overview. Mechanical Systems and Signal Processing, 1997, 11: 3-22.

力学百科条目：小引

非线性动力学(特长条)

混沌(长条)

初值敏感性 (短条)

洛伦茨方程(中条)

范德波尔方程(中条)

自激振动(中条)

跳跃(中条)

厄农映射(中条)

横截同宿点(中条)

李雅普诺夫指数(中条)

《中国大百科全书(第3版网络版)》“非线性模态”