水汽随高度递减率知识的不自洽--气象学里的”水汽悖论”之-4-

张学文,2015/5/1-4

本系列的之3中  http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-886432.html  指出两种计算空中水方法求得空中水的数量的结果不一致,依靠静力学关系求得的空中水是利用探空仪器与计算获得的数据的6倍。即它们是6:1的关系。

现在我们要进一步指出：水汽压力依照静力学关系的递减率与实际递减率明显不同！这又是一个水汽知识的不自洽。

在之2中http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-885564.html ，我们突出说明轻的水汽反而往下沉，而现在我们要利用本系列之3的公式和理想气体状态方程来共同说明水汽或者空气随高度的减少速度（递减率）。

我们知道无论干空气或者水汽，都属于理想气体（在气象学要求的精度下，这足够精确了），而理想气体的通用公式是

PV=RT  （6）

这里的P、V、T分别是该理想气体的压力、体积和绝对温度。R是通用的气体常数，它等于8.31J/K.mol。这个公式适用与任何的1摩尔理想气体，而当分析的气体不是1摩尔时，R的值就与摩尔数成正比例。

对于不便计量空气的体积V的气象学，一般把这个公式变成为：

P=ρ(R/m)T  （7）

的形式。这里的ρ是气体的密度，而m是1摩尔气体的克数（摩尔质量）。它仅是理想气体公式的一种变态，但是对于干空气，对于水汽，由于摩尔质量m不同。P、ρ、T的具体关系就有差别。

现在把公式（7）代入公式（1）中的ρ，我们就消去了气体密度，那么公式（1）变成了

Δp=-(mgp/RT)Δz  

或者说

Δlnp=-(mg/RT)Δz  （8）

如果再认为我们考虑的空气层中绝对温度的变化不大（粗略看作是常数,绝对温度T不变），积分就获得气象上著名的压力高度关系的指数公式

p=p₀e^{[(-mg/RT)(z-z0)]}  （9）

它联系了从z₀(如地面)位置到某高度z,的高度差（z-z₀）与上下压力（p,p₀）的关系。或者说它给出了上下层的气体压力随高度的变化率。

以上关系应当可以用于氧气、氮气、“干空气”和水汽（即p,p₀可以代表不同气体），但是它们的克分子量m值不同就影响了对应气体随高度的递减情况。

现在我们考虑自然数e 的幂=-1这样一个特定的情况(考虑问题的一个粗略的思路)。它表示了上层压力的底层压力的比值是e的负一次方（=0.3679=37%）的情景。即上层压力为底层压力的37%时的情景，于是自然有

-1=[(-mg/RT)(z-z₀)]

即

z-z₀=RT/mg  （10）

z-z₀表示压力（干空气或者水汽）成为地面值的37%时的高度与地面的高度差。

显然分子量m不同则压力减少到只有地面值的37%所需要的高度差是不同的。分子量越小，高度差就越大。下面的表给出不同分子量m值时按照静力学关系，压力减少为原值的36%时所需要达到的高度（与地面的高度差）。

表2按照静力学关系获得的空气压力和水汽压力随高度而减少为地面值的36.7%所需要的高度（差）。

 表2 根据公式（10）计算的高度差z-z₀

这个计算表明空气大约需要8公里，压力就成为地面压力的37%了，而水汽则需要到13公里才减少为地面水汽压力的37%。这个结果与我们前面分析的轻（分子量小）的水汽应当向上浮是一致的。但是它与水汽的实际往下沉分布（表1）不付。

在本系列之2  http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-885564.html 的表1中实际上给出了空气减少的速度（表的左侧第1列）与水汽随高度减少速度的对比。我们看到当空气减少为30%时，水汽已经只有1-3%了。而在空气减少到原量的70-60%时（表的左侧第1列）水汽压力已经减少为原量的36%了。

过去我分析过地势比较高的新疆的水汽压力的铅直变化（见“新疆水汽压力的铅直分布规律”的名称发表于2002年4期（8月）的《新疆气象》25卷第1，2，14页）。那里把水汽压力减少为底层数值的37%时的高度称为特征高度（即含义与这里的e是负一次方是一个含义）。下面是根据实际探空资料计算出来的水汽的特征高度。

表3. 新疆各气象站1、4月（冬春季）水汽压力减少为原值的36.7%时需要的高度（米）

 这个表中给出的新疆12个探空气象站的水汽减少为原值的36.7%所需要的高度大多在2公里附近。而表2求得的水汽理论减少到36.7%所需要的高度差是12.8公里。这里的静力学分析结果也是显著地与实际递减情况不符。