“推导”狭义相对论中的一个非标准幂律分布

美国归侨冯向军博士，2017年6月14-15日写于美丽家乡

 假定S'系和S系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系。规定S'系沿S系的x轴正方向以速度v相对于S系作匀速直线运动。根据狭义相对论的洛仑兹变换，有

x’= （x - vt）/(1 - (v/c)^2)^(1/2)

这其中x'和x分别是S'系和S系的x'轴和x轴的坐标。t是S系的时间，c是光速。当x=0，t=1时

x' = -c /((c/v)^2 - 1)^(1/2)

这其中x'是S系原点的x坐标在S系1秒时刻于S’系中的相对应的x'坐标。令r = c/v,有

x' = -c(r^2 - 1)^(-1/2)

因为r是光速与相对运动速度v的比值，r >= 1。r是两速度的比值，可称为速比。我们来考察r从2变至4（v/c从0.5下降至0.25）区间内x'随速比r的变化而变化的情形x'(r)，不过我们将从《关于决定性事件的概率论》的角度来考察。将r的变化区间[2，4] n-1等分，得r的样本值r1，r2，...，rn。相对于r的样本值有x'(r)的样本值x'1，x'2，...，x'n。命

XT' = x'1 + x'2 +...+x'n

XT'/c = x'1/c + x'2/c +...+x'n/c

这其中XT'是坐标x'的n个坐标值之和，是x'的样本的算术平均值的n倍，单位是米。

于是有满足概率公理的概率分布

pi = x'i/XT' = (x'i/c)/(XT'/c） = -1/（XT'/c）（ri^2 - 1)^(-1/2)

(i=1，2，...n）

显然概率分布pi是关于速比变量ri的非标准幂律分布。

图1 概率p的样本随速比r=c/v的样本的变化而变化

图2 x'/c的样本随速比r=c/v的样本的变化而变化。r

图三 概率p的对数随速比r的对数作准线性变化。

 由以上分析可见，S系的原点x坐标（x = 0），在S'系却对应着关于速比r=c/v这个变量的概率分布：非标准幂律分布。r越小，概率值越大。空间不是绝对的而是相对的。 通过这个范例，我们想宣示的核心理念是：在《关于决定性事件的概率论》中，客观世界的一切函数关系均对应着某个概率分布。决定概率分布的最大平等遍历度原理其地位等同于牛顿力学中的牛顿三大定律。  

 我们要问从《关于决定性事件的概率论》来看，这个非标准幂律的成因是什么？不失一般性，假设变量q服从约束条件：log（q^2-1)的统计平均值为常数。由平等遍历度和约束条件所构成的拉格朗日算子为：

L = -p1log(p1)-p2log(p2)-...-pnlog(pn) + C1(p1+p2+...+pn-1) +

+ C2(p1log(q1^2-1) + p2log(q2^2-1) +...+ pnlog(qn^2-1) - C3)

对L求一阶偏导数dL/dpi并令之为零，就有：

dL/dpi = -log(pi)-1 + C1 + C2log(qi^2-1) = 0，(i = 1,2,...,n)

pi=exp(C1-1)(qi^2-1）^C2，(i = 1,2,...,n)

又因为拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是负定的主对角线上元素恒负而其余元素都等于零的对称矩阵，因此上述令拉格朗日算子的一阶偏导数等于零的幂律分布确实是令约束条件下的平等遍历度取极大值而符合最大平等遍历度原理的分布。对于上述狭义相对论中的非标准幂律分布，待定常数C1 = log(-c/XT') + 1 = -1.0165，而C2 = -0.5。由此可见本文中的非标准幂律的成因是如下所示的约束条件（对可能的概率分布选择范围的约束）：对于变量速比r，log（r^2-1)的统计平均值为常数:

p1log(r1^2-1) + p2log(r2^2-1) +...+ pnlog(rn^2-1) = 常数C3