15.3 四维时空

“世界”一词源自佛教，‘世’指的是不断迁流的时间，‘界’指的是东南西北各方位的空间。有大千世界、中千世界、小千世界等等。

在推演相对论时，爱因斯坦发现，要想正确解释麦克斯韦方程隐含的恒定光速，除非假设时空是不可分割的。于是，相对论统一时空参照系，长宽高三维空间再加上时间维度，便有了“四维时空”之说。

但是，如果不借助数学模型，仅仅以日常语言泛泛而谈“四维时空”，则存在严重的误导性。因为自然语言是一阶逻辑的，只能以一阶向量为基础表达线性空间，语文阐述“四维时空”往往会让读者误以为这是四维线性空间。

其实不然！

相对论以闵科夫斯基空间为参照系，闵科夫斯基空间并不是线性空间。

  相对论中，时间是可以伸缩的、空间是可以伸缩的。既然时间度量可以变慢变快、空间尺度可以变长变短，那么有没有什么东东在时空中保持“不变性”呢？

 如果没有加速度、没有外力、不扭曲，时空各处都一样，可以定义这个不变量s

   s在时空一体的坐标系中，相当于圆的半径。时间是可变化的、空间是可变化的，唯有半径s不变：

  但是，上面的时空一体模型有点问题。因为，在圆轨迹点A"处，会违反逻辑‘因果性’。比如，正常的逻辑因果是“先拉屎然后开屁股”，如果违反了因果性，则会推导出“先开屁股后拉屎”的谬误。

  解决因果性谬误的办法是，引入闵氏度规 ：

闵氏度规矩阵也可以写成这样：

也就是在时间维度上，定义其模平方为负数。这样，洛伦兹变换可在闵氏度规下保持s模不变。

数学而言，闵氏空间与欧氏空间（即经典线性空间）只有一点区别，四维欧氏空间度规是单位矩阵，其对角线元素分别是+1+1+1+1；而闵氏空间度规不是单位矩阵，其对角线元素分别是-1+1+1+1

有人说，不就是+1和-1的这点差别而已，影响大么？

进一步看，模平方为负数，也就是隐含了复数变换i，因为i平方=-1：

那么，空间维是实数，时间维为虚数，这又意味着什么呢？？？

前面章节详细介绍过，虚数i并非“虚无缥缈”的数，一次i变换的作用是向量方向旋转π/4 ，两次i复合变换导致特征属性逆反，四次i复合变换后特征属性恢复如初。换句话说，i变换作用可以看作是一个旋转群。

模平方为负数，也就是隐含了虚数i构造的旋转群：

这时，相对论时空的尺度维度看作是实数向量，时间维度看作是虚数旋量。

    再进一步看。洛伦兹变换在闵氏度规下保持s不变，可以看作一个以不变量s为半径的旋转群（注意，这和上述虚数i构造的旋转群是不同的，这是另外一个群）。

洛伦兹群有 6 个生成元，

沿三个方向的boost变换矩阵分别为：

绕三个方向的转动变换矩阵分别为：

接下来，按标准方法求化简洛伦兹群的3个boost生成元  和3个转动生成元  ， 

一般的洛伦兹变换可以写为

    我们再来看看，洛伦兹群的 6 个生成元：

请留意，洛伦兹变换实际上复合了两种类型的‘旋转不变性’。一个是以s为半径洛伦兹旋转群，另一个是时间轴上虚数i构造的旋转群。

另外，顺便提提，假如把无穷小洛伦兹变换看作线性向量，当我们以首尾相接的一组线性向量来合成洛伦兹旋转变换时，首尾相接的n个无穷小向量的系统是否同构于n维线性空间呢？

首尾相接的n个向量来合成的旋转量，此处的“合成”指的是n次复合乘积（即n阶张量）。当这里的n趋于连续无穷大（即ℵ 1）次时，得到连续无穷阶洛伦兹旋转群。连续无穷阶变换复合超出了可列无穷多个向量（即ℵ 0维）可以表达的范围。所以ℵ 1次洛伦兹变换复合乘积，是无法由ℵ 0维线性空间直接表达的。因为ℵ 0维线性空间，只有可列无穷多个基向量，只能通过基向量的加法表达。

    初等代数中乘法只是特殊的加法，但是在抽象代数中乘法和加法有本质区别。

综上所述，闵科夫斯基四维时空并非线性空间，O(3,1)洛伦兹群是两个旋转单群的复合，连续无穷阶洛伦兹复合变换生成流形结构，是高阶张量空间。

洛伦兹群在高阶张量中相对而言是比较简单的，更复杂的群结构是这样的：

通常情况下，连续无穷阶变换群是非常复杂的，需要对不等价不可约群表示进行分解，需要建立以单群为基础的统一参照系。

如果运气好的话，有时可以将高阶李群化简为n维李代数。