恭喜！无恶意，请罢斗。

——冷谦，明教五散人之一

作者原创声明：

本文符合科网原创博文的相关规定。

本文纯属习题讨论，如有巧合，实属雷同。

网文查重委员会证明：

“刻舟求鱼”与成语“刻舟求剑”的重复率只有75%，符合网文查重管理条例（第二版）第38条第250款之网文重复率不得超过95%的规定，特此证明。

另，据网文出版总署之相关调侃龟腚，网文题目不在禁止重复使用之列。

力学教学笔记之刻舟求鱼

姬扬*¹

1 科网博客特权俱乐部

* http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1319915

本文讨论了岳东晓提出的“刻舟求鱼”问题[1]，用以说明物理模型之建立、求解、验证及改进等过程，同时还示范了网文的正确写法和引用惯例。

力学的重要性毋庸赘言，但我们还是简要地回顾一下历史。自盘古开天辟地以来，力学就是一个高度竞争的科研领域，中国的墨子、鲁班、曹冲，西洋的宙斯、阿基米德，无一不是力学巨擘，东西力学竞争凡几千年，互有胜负。然天行有常，不为尧存，不为纣亡——对不起，书袋掉错了，应该是，东方不亮西方亮，西方有圣人出，西哲伽利略、牛顿出世，中土遂一败涂地、形势不可挽回矣。天不生牛顿，万古如长夜！

“刻舟求剑”乃牛顿前时代的重要发现，几千年来无重大进展，不料在牛顿辞世几三百年后的今天，“刻舟求鱼”出世了。“刻舟求鱼”[1]是一个重要的学术问题，是大学普通物理之力学精确解“刻舟”系列中第二重要的问题，他突破了刻舟求剑的限制，由无生命的剑而入有生命的鱼，是从无机物到生命体的巨大飞跃。

“刻舟求鱼”问题的描述如下[1]。

范蠡助越吞吴、功成身退，携西施泛舟五湖，好不逍遥自在。有一天，西施去找她的姐妹西湖玩，留下陶朱公一人在小船发呆。其时春和景明，波澜不惊，上下天光，一碧万倾，陶朱公范蠡闲得无聊，就在小船上向前跳了一下。这一跳，有分教：推出一道物理题，惹来几个网上人。欲知后事如何，且听下回分解。

上回书说到，陶朱公范蠡闲得无聊，就在小船上向前跳了一下——结果就跳出问题了：在跳跃前后，小船的位置如何变动呢？正所谓，人在船中坐，题从天上来。

解决问题的入手点在于建立适当的模型。岳老师的模型如下。

假定（理想化条件）：人是质点$m$；小船是足够长的线段，其质量为$M$；静水对小船的阻力正比于船的速度$v=\dot{x}$；跳离和落回小船为瞬时行为。

描述小船运动状态的微分方程为

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=-k\dot{x}$

很简单的牛顿第二定律，但是要注意：人跳离小船后的$p$ 是 $M\dot{x}$，而人落回小船后的$p$是$(M+m)\dot{x}$。根据这个微分方程，考虑到跳离和落回前后的动量守恒，就可以得到他的结论：小船最后回到了原处。正所谓，不管人动还是船动，结果都是没动。岳老师的博文把道理讲明白了[1]，后来文可玲老师也给出了更为详细的数学推导[2]。答案是，重要接受这些假设，小船最后位置不动的这个结论就是正确的。

好了，这么简单的一个问题，就这么解决了。范蠡跳累了，西施回来了，大家也该散伙了。可是没成想，居然掀起了一场讨论的热潮，许多人在博文后点评，好几位还专门写了博客[3]。

为什么呢？主要是因为这个结论有些出乎意外。

简单地考虑两种极限情况：如果没有阻力，那么人和小船这个系统的质心不动，如果人在船上跳了$s$，那么小船应当移动$\frac{m}{M+m}s$；如果阻力无穷大，那么小船就不会动。这个道理很简单，很多人都认识到了这一点，也知道实际情况不外乎在这两个极限之间。出人意料的是，在岳老师的模型里，不管阻力是多大，只要它满足正比于小船速度的条件，小船最后就不会动。

很多人从各个方面指出了小船不会停留在原地，其理由无外乎以下几个方面：

1、阻力不是正比于速度。当然如此，岳老师早就指出，小船不动依赖于阻力为$-k\dot{x}$，否则他的结论肯定不成立的——他说的就是这个特殊情况。

2、比例系数$k$依赖于人是否在船上，理所当然，但是，这也不是岳老师考虑的情况，理由如1。

3、小船返回原地，需要无穷长的时间。确实如此，但也不能否定岳老师的结论。

基本上就这样了——我不知道为什么会搞得这么热闹。如果否定了前提，自然就会否定结论，但那就是另外一个问题了。

其实，这反映了力学学习中的一个重要方面：一个精确的解析结果，对于理解问题是很有帮助的。你改动某个前提，看看结果的偏离，就可以知道这个因素起到什么作用、起了多大影响。模型的作用就在于此。至于说模型与现实是否符合，那就要具体问题具体分析了——但是首先你要保证自己的推导不出问题才行。

本来可以结束了，可是，马红孺老师发现这样一个问题：比例常数$k=0$的情况和$k\rightarrow 0$的极限情况是不一样的[4]。这是个很显然的结论，很可能是因为这一点才让很多人参与讨论这个问题的，但是所有的讨论都没有说为什么会有这种不同。即使马老师也只是说，“力学中有相当多违背直觉的现象，反复琢磨，也就慢慢地能接受和理解了，最终成为直觉的一部分。”我觉得这个问题可以稍微仔细地阐明以下。

在岳老师的模型里，比例常数$k=0$的情况和$k\rightarrow 0$的极限情况是不一样的。为什么呢？原因是这样的。在前面的求解过程中，都是假定了人跳离和落回小船是瞬时作用，小船的速度突然就改变了，然后再以指数形式衰减。只要承认这个前提，在$k\rightarrow 0$的极限情况下，小船最后仍然是不动的。然而，人跳离和落回小船这个动量守恒过程不是瞬时的，它有个特征时间$\tau$,否则，瞬时加速度就变为无穷大，不符合物理。妥善地处理这个特征时间，就会消除两种情况之间的不连续过渡这个问题。

我来随便试试吧。假设人脱离小船的速度和加速度都是定值，分别为$v$和$a$，那么，$\tau \sim v/a$，在此时间里，小船行进了$\frac{m}{M}\frac{v^2}{2a}$；而在人落回小船的过程中，小船行进了$\frac{m}{M+m}\frac{v^2}{2a}$。这里略去了阻力的影响，因为我们在考虑阻力趋于零的极限情况。这样，小船的移动位置就是$\frac{m}{M+m}\frac{mv^2}{2Ma}$。显然，这与前面提到的无阻力小船的位移$\frac{m}{M+m}s$非常相似。调节$a$的大小，就可以在两种极限情况下光滑地过渡了。

好了，就到这里吧。

各方面的意见都已表述清楚。其实大家并没有什么分歧，除非你认为关于前提的分歧是分歧。可是，如果不认同前提的话，那就是另外一个物理模型了，与岳老师讨论的不是一回事，当然就会有鸡同鸭讲的感觉了。

其实吧，刻舟求鱼这条鱼只是条小鱼，翻不起什么大浪的。科学网现在很萧条，编辑们只能是“屈法申恩，吞舟是漏”，也就是说，你这条小船被大鱼吞了都没人管，谁还在乎你刻舟以求的这条小鱼？

写到这里，我抬眼看看窗外，只见大雾弥天，不见东西，无分南北，遑论船啊鱼啊的。我多想跳离这漫天的雾霾，化为一条任公子也钓不上来的大鱼，在浩渺无边的北海中遨游：

北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，不知其几千里也。

[1] 岳东晓：刻舟求鱼 (配图） http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1020583.html

[2] 文克玲：“刻舟求鱼”究竟是怎么回事？ http://blog.sciencenet.cn/blog-583426-1021845.html

[3] 说到这里，我也是心潮澎湃，忍不住要拽几句洋文，凸显我高大上的学术规范：See KeXueWangBoKe and references therein. 正在自鸣得意之时，边上传来一声怒吼：说人话！好吧，我就说人话，其实就是请你去看看这几天的相关博文而已。

[4] MA HongRu, private communication. 怎么又不说人话了？就是在博文[1]后面的某个评论而已。

[34]马红孺  2016-12-17 18:01

这个题目确实挺好玩，博主的分析和计算都很清楚，只是有点违背直觉。其实，力学中有相当多违背直觉的现象，反复琢磨，也就慢慢地能接受和理解了，最终成为直觉的一部分。不过呢，这个题目再深挖一下，还有点更好玩的：如果阻力精确为0，船的位置会变；如果阻力是 -kv, 船将回到原位。 但是，如果k趋向于0， 结果船还是回到原位。阻力趋于0的极限与阻力为0的结果不同！