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刻舟求鱼 (配图) 精选

已有 6141 次阅读 2016-12-14 09:28 |个人分类:物理|系统分类:教学心得

如果一个人在小船上从船尾跳到船头,小船会怎么运动?这是我上中学时遇到的一个问题。当时我经过计算证实了一个令人惊奇的现象,至今记忆尤新。


jump-boat.png

忽略水对船的阻力,根据动量守恒,人往前面跳,船会往后退,人的动量正好与船的动量大小相同,反向相反。

人落在船头后呢?

人-船总动量为零,小船又会停下来。

如果考虑水对船的阻力呢。先来看看这里发生了什么。人跳起后一瞬间,船的水平动量与人的水平动量大小相同,反向相反。人在空中的期间,水平动量不变(忽略空气阻力);船往后退,但是船受到水的阻力,因此,其动量大小会减小。当人落下时,人的动量大于船的动量,整个系统的动量等于人的动量加上船的动量,船会向前运动,直到最终在水的阻力下停下。所以,人在空中时,船往后退,人落到船头后,船又往前走。

假定这个水的阻力与船的速度成正比 (低速时粘滞阻力是很好的近似),问题是,船最终移动了多少。这就需要运用一下牛顿定律了。

设人跳起水平动量为 P,则船后退的动量为 -P,船后退过程中受到水的阻力,动量减少,人着船后,船往前走,最终船在水的阻力下停下。

水的阻力 f 与速度 v 成正比,也就是 f = -kv,k 为常数。根据牛顿第二定律, dp/dt = f ,我们有所谓动量的变化等于冲量

$\Delta p = f\Delta t$

即使力变化,这个关系对时间差小的时候是准确的。 另外,人-船 之间是内力,  不出现。 代入外力 f  = - kv , v 为船的速度

$\Delta p = -k \ v \ \Delta t = -k \ \Delta x$

x 为船移动方向的坐标,有趣的是,时间没有显现出来了。

因此,

$\Delta x = - \Delta p/k$

由于船+人最开始动量为零(静止),最终动量也为零,动量变化为0。 $\Delta p =0$ .

因此, $\Delta x=0$ .


也就是说,船会准确地回到原处 --- 只要 k 不等于 0.


(如果 k 精确为0,上面方程 无解,但是那是一个初中物理 问题)


注:有的读者可能没看明白,如果水的阻力为零,人从船尾跳到或走到船头,船是会动的--不动的是质心。这是初中物理。


现在我们是讲高一物理,考虑水的阻力的结果是,船不动---换言之 ,人+船质心动了。



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