蕴涵怪论

    在经典逻辑中，下面这些命题都是定理。

1.  p∧﹁p→q

2.  p→q∨﹁q

3.  p→(q→q)

4.  p→(q→p)

5.  ﹁p→(p→q)

6.  (p→q)∨(q→r)

共同变元

     上面这些定理的问题在于前件和后件之间没有内容上的联系。为了克服这一点，逻辑学家提出了共同变元要求：

      如果A→B是逻辑定理，则A和B包含共同的命题变元。

上面1、2、3、5、6都违背了这个要求。

但它只是必要条件而不是充分条件，比如4虽然符合这个要求，但仍然是不合理的。

符合共同变元要求的逻辑称做相干逻辑。下面的B系统和R系统都是相干逻辑。

B系统

公理：

(1)  A→A

(2)  A→A∨B  (和B→A∨B)

(3)  A∧B→A  (和A∧B→B)

(4)  A∧(B∨C)→(A∧B)∨(A∧C)

(5)  (A→B)∧(A→C)→(A→B∧C)

(6)  (A→C)∧(B→C)→(A∨B→C)

(7)  ﹁﹁A→A

推理规则：

(R1)  A, A→B ⊢B

(R2)  A, B ⊢A∧B

(R3)  A→B ⊢(C→A)→(C→B)

(R4)  A→B ⊢(B→C)→(A→C)

(R5)  A→B ⊢(B→C)→(A→C)

B系统的语义

<W，N，R，*，v>是B的一个解释。

W是可能世界集，N是正规的可能世界集，N $\subseteq$ W。R是W上的三元关系，即R $\subseteq$ W x W x W。*是从W到W的函数，w**=w。V是赋值函数。

对任意的简单命题p和可能世界w。V(p,w)=0或V(p,w)=1。对复合命题的赋值规则如下：

V(A∧B, w)=1，当且仅当，V(A, w)=1且V(B, w)=1

V(A∨B, w)=1，当且仅当，V(A, w)=1或V(B, w)=1

V(﹁A, w)=1，当且仅当，V(A, w*)=0

→的赋值规则：

如果w∈N

V(A→B, w)=1，当且仅当，对任意的x，如果V(A, x)=1，那么V(B, x)=1。

如果并非w∈N

V(A→B, w)=1，当且仅当，若Rwxy，如果V(A→B, x)=1，那么V(A→B, y)=1。

（可以看出，三元关系R实际上是克里普克语义中二元关系R’的推广。Rxyz和y=z，当且仅当，R’xy。）

语义后承只定义在正规的可能世界上。

Γ⊨A，在任何一个解释中，对任意的w∈N，如果Γ里的每一个命题真值都为1，则A也为1。

可以检验：

上面蕴涵怪论中的命题在这语义中都不是有效式。蕴涵怪论在相干逻辑中不存在。

R系统

   在B系统中加入下面四条公理，就构成R系统。

(8)  (A→﹁B)→(B→﹁A)

(9)  (A→B)→((B→C)→(A→C))

(10)  (A→B)→((C→A)→(C→B))

(11)  A→((A→B)→B)

(12)  (A→(A→B))→(A→B)

R系统的语义

   R系统的语义和B系统相同，但对R做以下限制。下面的每条规则都和相应的公理对应。

(C8)如果Rabc，那么Rac*b*

(C9)如果Rabx和Rxcd，那么存在y，Racy并且Rbyd。

(C10)如果Rabx和Rxcd，那么存在y，Rbcy并且Rayd。

(C11)如果Rabc，那么Rbac。

(C12)如果Rabc，那么存在x，Rabx并且Rxbc。

R的相干性证明

R是下面这个多值逻辑的子逻辑，它一共有8个真值。（实际上R也是RM3的子逻辑。）

否定是在相应的真值上加上或去掉撇号，比如0的否定是0’，而0’的否定是0。合取是相应真值的下确界，析取是上确界。比如b∧1=b，1∨0’=0’。

而蕴涵→的真值表如下：

   在这个逻辑中，带撇号的真值都是指定值。（指定值的定义。A⊨B，即如果命题A的真值属于指定值，则命题B也是。）

容易检验，R的所有公理和所有推理规则都在这个逻辑中有效。所以一个命题如果不是有效式，则它一定不是R的定理。

要证明R具有相干性，只需证明如果A→B中的A和B没有共同的命题变元，则A→B不是有效式。

对A中的任一命题变元取真值b或b’，可得A的真值也一定是b或b’。对B的任一命题变元取真值n或n’，得B的真值也一定是n或n’。根据→的真值表，A→B的真值是0。所以A→B不是有效式。

语义的理解

对上面语义的理解是有争议的。

函数*

1、w*包含的是w中没有否定的东西。肯定和没有否定是两种不同的情况。有证据确定张三杀人了。这是肯定。没有证据表明张三没有杀人。这是没有否定。有时又把没有否定称做弱肯定。

2、另一种理解。在和w相容的可能世界中，w*是最大的，即包含信息最多的。

三元关系R

1、把可能世界看成是信息集。Rxyz，信息集x和信息集y合并在一起所得到信息集z。信息集x中有A→B，信息集y中有A，所以信息集z中有B。

质疑。按这样的理解，A→A将在所有可能世界成立。根据上面的语义可得到，B→(A→A)是有效式。但这个命题不符合相干性要求。

2、还有这样的理解。Rxyz，x是信息通道，y和z是信息集。A→B在x中真，即A从信息集y，通过x传到信息集z，z中将有信息B。