如果一个模态系统包括K公理和R规则，则它是正规模态逻辑。

K公理：□(A→B )→(□A→□B)

R规则：⊢A $\Rightarrow " style="text-indent:31px;$ ⊢□A

前面所说的所有系统都是正规系统。容易检验，K公理在所有可能世界上成立，而R规则在所有模型上成立。

所以如果一个系统不是正规系统，它的语义一定和通常的可能世界语义不同。

非正规系统语义

<W, N,R,V>，其中W、R、V的含义和以前一样。但W包括两部分，其中一部分是N，它里面的可能世界是正规可能世界，另一部分是非正规可能世界。V在正规可能世界对命题赋值时，规则和通常一样。对非正规可能世界的命题赋值时，有点不同。如果w是非正规可能世界，则

V(w, □A)=0，V(w, ◇A)=1

定义语义后承的时候，只需考虑正规可能世界。

Γ⊨A，当且仅当，对任意模型M和任意正规可能世界w，如果M, w ⊨Γ则M, w ⊨A。

容易检验：并非⊨A $\Rightarrow$ ⊨□A

比如下面这个模型，1是正规可能世界，2是非正规可能世界。在这个模型中，⊨□(p∨﹁p)，但并非⊨□□(p∨﹁p)。

还可以进一步修改语义，比如放宽对语义后承的限制，将它定义在所有可能世界中。也可以放宽对赋值函数V的限制，它在非正规可能世界上对模态命题赋任意值都可以，不需考虑子命题的值，不需要考虑可通达关系。这样得到的逻辑将是原来系统的子系统。