[打听，科普，数学] 素数（201）：黎曼假设的难度：候选解的数量超过费马大定理

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

   对于常见的数学方程组，当被求解的“未知变量”的数目，超过了方程组提供或限定的信息范围，就成为不确定性的方程（indeterminate equations，underdetermined systems）。如丢番图方程（Diophantine equation）。

   这些不确定性的方程解的数量，可能是无解（no solutions），有限个解（only finitely many solutions），无限多个解（infinitely many solutions）。

一、费马大定理：解与候选解的数量

   费马大定理（Fermat's Last Theorem），xⁿ + yⁿ = zⁿ ，这里，x、y、z 都为正整数，正整数 n>2。费马大定理是一个丢番图方程。待求解的“未知变量”数目是3，约束条件数目为1；但只有1个方程。是不确定性的方程。

   其候选解的数量，为正整数 x、y、z 的组合，为“可数无穷 countably infinite”个。

   判定费马大定理的成立，需要处理的候选解的数量为“可数无穷 countably infinite”个。

二、黎曼假设

   1859年，黎曼以欧拉恒等式为出发点，通过解析延拓，将实数域的ζ函数，延拓到整个复平面（除了极点 s=1之外）。

   在Edwards 的《Riemann's Zeta Function》一书里，黎曼解析延拓后的ζ(s)的函数形式在第10页（Riemann zeta function），黎曼ζ(s)的函数方程在第13页（functional equation of the zeta function）。

   不难发现：

   与素数有直接关系的“非平凡零点 nontrivial zero”的数量，为无穷多个。由于全纯函数（holomorphic function）的每个零点都是孤立的，所以“非平凡零点”的数量为“可数无穷”个。

   而黎曼ζ(s)函数或函数方程的“非平凡零点”解的候选数目，为全体复数个（连续统 continuum 的基数），是“不可数无穷 uncountable infinity”。

   所以，判定黎曼假设，是从“不可数的全体复数”里，挑出“可数无穷多个非平凡零点”。  

三、结论

   黎曼假设，是从“不可数的全体复数”里，挑出“可数无穷多个非平凡零点”。

   判定费马大定理，是从“可数无穷”个候选解里，挑出至多“可数无穷”解。

   因此，从需要处理的候选解的数量看，黎曼假设比费马大定理的复杂性高出一个“无穷大”级别。

图1  用百度AI生成的一张带有“Postdadaism 后达达主义”风格的图片

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[1] 2026-09-29 21:06，[打听，科普，数学] 素数（200）：黎曼假设最后一步推导，简化从 J(x) 到 π(x) 的计算

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[2] 2026-09-14 22:37，[笔记，科普，数学] 素数（185）：丢番图方程 Diophantine equation 的基本概念

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[3] 2026-09-13 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（184）：黎曼解析延拓 ζ(s) 函数的零点，有多少个？都在哪里？

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[4] 2026-09-08 22:34，[打听，科普，数学] 素数（179）：我可以提出一个新的猜想吗？ （关联：比尔猜想 Beal's Conjecture）

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[5] 2026-09-27 22:49，[资源，科普，数学] 素数（198）：Clay 数学所（CMI）对 Riemann Hypothesis 的介绍等

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[6] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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[7] 2026-08-26 23:11，素数关键词博文网址（2026-03-04 ~ 2026-07-31）

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[8] 2026-08-28 22:16，[笔记，科普，数学] 素数（168）：黎曼假设中各个公式推导的条件及其变化（1）

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[9] 2026-09-03 21:06，素数全部博文网址（2026-08）八月份（30篇）

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[11] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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