[打听，科普，数学] 素数（200）：黎曼假设最后一步推导，简化从 J(x) 到 π(x) 的计算

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、J(x) 与 π(x) 之间关系观察的结果

图1  J(x)与π(x)之间关系的观察

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannPrimeCountingFunction.svg

   不难发现，当 x 为一个素数时，J(x)、π(x) 的上升幅度相同，都是 1。在其它情况下，J(x) 随 x 增加的上升幅度为 (1/m)，此时 x 为某个素数的 m 次幂（m为正整数）。

   所以，只要 (1/m) ≠ 1，我们根据 J(x) 来计算 π(x) 时，略去它们即可。

   简言之，由 J(x) 生成 π(x) 时：

   （1）如果 J(x) 上升幅度为1，则令 π(x) 的上升幅度也为1；

   （2）其它情况，即 J(x) 上升幅度 (1/m) ≠ 1 时，则令 π(x) 的对应上升幅度为0。

二、只要“素数幂”猜想成立，就可以采用上面的方法简化从 J(x) 到 π(x) 的计算

   实际上，只要 p^m ≠ qⁿ 足够稠密（“素数幂”猜想成立），就可以满足“不会出现几个(1/m)恰好重叠在一起刚好成为1的情形”。前面的直接从 J(x) 来计算出 π(x) 的方法就有效。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-09-08 22:34，[打听，科普，数学] 素数（179）：我可以提出一个新的猜想吗？ （关联：比尔猜想 Beal's Conjecture）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1551633.html

[2] 2026-09-28 22:52，[笔记，科普，数学] 素数（199）：哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture 的基本概念

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1554487.html

[3] 2026-09-27 22:49，[资源，科普，数学] 素数（198）：Clay 数学所（CMI）对 Riemann Hypothesis 的介绍等

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1554319.html

[4] 2026-06-28 00:41，[打听，科普，数学] 素数（108）：从黎曼 ζ 函数只能推导出 J(x) ？不能直接推导出 π(x) ？（实在看不懂）

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[5] 2026-07-02 20:52，[打听，科普，数学] 素数（112）：从黎曼 J(x) 计算出 π(x)，有哪几种具体的方法？特别是不用 Möbius 函数的具体方法

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[6] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545265.html

[7] 2026-08-26 23:11，素数关键词博文网址（2026-03-04 ~ 2026-07-31）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1549711.html

[8] 2026-08-28 22:16，[笔记，科普，数学] 素数（168）：黎曼假设中各个公式推导的条件及其变化（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1550016.html

[9] 2026-09-03 21:06，素数全部博文网址（2026-08）八月份（30篇）

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[10] 2026-08-03 23:24，素数全部博文网址（2026-07）七月份（31篇）

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[11] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[12] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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