“人是社会关系的总和，人不能脱离社会而存在。”

物质世界是“普遍联系”和“永恒发展”的。

数学是现实世界中的“数量关系”和“空间形式”的科学。

真理越辩越明。

汉语是联合国官方正式使用的 6 种同等有效语言之一。请不要歧视汉语！

Chinese is one of the six equally effective official languages of the United Nations.

Not to discriminate against Chinese, please!

[请教] P对NP（四）：相关要点小结（问答式）

（1） “P对NP”很重要吗？

   回答：

   本世纪以来，主流都说“P对NP”很重要。

   例如，美国克雷数学研究所的七个“千禧年数学问题”，涉及了近 200多年的数学研究。这个比例，明显低于诺贝尔科学奖。

   单一学科的诺贝尔科学奖问题数量，大约是“千禧年数学问题”数量的 30倍以上。可能在 50倍以上，因为单一学科的诺贝尔科学奖每年往往是多人共享，往往某年 2个问题或更多个问题。

   2005、2021 《科学》期刊的两个 125 问题，都涉及到与“P对NP”相关的问题。

（2） 采用上面的方式表述“P对NP”的重要性，是否涉嫌“不科学”？

   回答：

   是的！

   可以借用 1990年有人纪念梵高的说法：

   “Artists must search for truth with integrity.

   The importance of art has nothing whatsoever to do with money.

   艺术家必须正直地寻求真理。

   艺术的价值与金钱毫不相干。”

   “P对NP”是与数学、计算机科学、智能科学等有关的重大基础问题。很难用几句话说清楚。

   正如著名物理学家费曼所言：“如果我能在三分钟内解释清楚，那就不值得获得诺贝尔奖了。”

（3） 你对“P对NP”的理解正确吗？

   回答：

   我 2012-03-23 发博文请教过。我听到的指教：你对“P对NP”的理解和主流一致。

（4） 你认真学习、思考过“P对NP”吗？

   回答：

   应该是吧？

   大约在 1988年，就听水平较高的老师们给介绍过。一本较为全面的书是《GAREY M R, JOHNSON D S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness [M]. New York: W. H. Freeman, 1979. 》。张立昂等老师 1987 科学出版社的汉译本（包含了更多内容），我拜读了多年。

（5） 你对“P对NP”的核心看法是什么？

   回答：

   策梅洛-弗兰克尔集合论里“幂集公理”的变形：

   NTM 相当于 DTM 的幂集。

（6） 你自评一下自己的思考。

   回答：

   只要“幂集公理”没有被否定，我的思考就应该有意义。

（7） “幂集公理”将来什么时候会被否定？

   回答：

   讨论未来是困难的。

   “幂集公理”的实质：两件不同的事物之间，总会有数量、质量等方面的差别。

   从这个意义是看，好像“幂集公理”将来会长期存在的。顶多是用一个“更细致”的公理来替代它。这个“更细致”的公理，数学实质和幂集公理没有什么差别，至多是一些“数量”方面的差别。

（8） 为什么“P对NP”的结果出现了相对性？

   回答：

   这个不怪“P对NP”。

   要怪就怪“演绎证明”。演绎证明的结论，是前提蕴含的。采用不同的理论（前提），自然得到不同的结论。

   在古希腊时期，数学家们就发现这点了：前提蕴含。

（9） “P对NP”会导致哪些新的看法？

   回答：

   有关主流专家们的论述，已经很多了。

   我可以说说自己的一点感受。

   对理解“数学证明”的实质；发展作为数学基础的《集合论》；新型计算机研究；人工智能研究；思维之谜破译；……

   2005、2021 《科学》期刊的两个 125 问题，有一些相关的主流态度。

（10） “P对NP”的结论，还会出现什么争议吗？

   回答：

   有争议是好事。“真理越辩越明。”

   不过，“P对NP”的主要结论“NTM 相当于 DTM 的幂集”，好像也没什么争议了吧？

   反对“幂集公理”，一般人根本不敢啊！

   “P对NP”与连续统假设的关系，可能会在“无穷公理”、“选择公理”等方面有一定的争议。第一，这些争议不影响“NTM 相当于 DTM 的幂集”这个主要结论。第二，这些争议都是数十年的老问题了。主流的态度是比较明确的。可以参考《中国大百科全书·数学》等顶级权威资料。

   不幸的是（反过来，幸运的是）：怀疑“无穷公理”、“选择公理”，往往都会被认定为“非主流、民科”。

（11） 你对“P对NP”思考，实质性采用了其他人的相关研究结果吗？

   回答：

   应该没有直接的关系。

   张立昂等老师 1987 科学出版社的《Computers and Intractability》汉译本，以及相关的研究资料，已经很多了。我不可能逐一去分析。我没打算写“综述”。

   由于这些“以数量关系为主”的主流思路都没有透彻解决，我 1993年夏天直接绕过它们，转到“空间形式”方面。

   因为《中国大百科全书·数学》、《从一到无穷大》、《古今数学思想》，哥德尔不完全性定理、Chaitin 定理，王宪钧教授的《数理逻辑引论》，以及孔子“工欲善其事必先利其器”、老子等千年之前的观点，足够足够（有意重复了一下）支持我的“从头开始的”思考了。这也是庞加莱“预测数学未来的真正方法是研究它的历史和它的实际状态”等的直接启发。

   “你对于那个问题不能解决吗？那末，你就去调查那个问题的现状和它的历史吧！你完完全全调查明白了，你对那个问题就有解决的办法了。一切结论产生于调查情况的末尾，而不是在它的先头。”

   不要去借助那些“尚未成功”的研究中间结果了，也不要围着“P对NP”绕弯子了。

（12） 你对“P对NP”还想说些什么？

   回答：

   “P对NP”之后要做的问题，还会越来越多。这是人类共同的事情，不是我自己的私人事情。

   倒是希望自己还能再做点什么。

   还有，“概率化”思考的结果，10多年过去了，一直也没有正式发表。要是能在“顶刊”正式发表一下就好了。不过，这些都不影响已经发表的“NTM 相当于 DTM 的幂集”这个主要结论。

感谢您提出任何问题！

真理越辩越明。

2023-07-05 后补，进一步请看：

[1] 2023-07-05，[讨论] P对NP（五）：宇宙“热寂”之前，“幂集公理”不会有太大的毛病？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1394169.html

参考资料：

[1] 2022-07-13，策梅洛-弗兰克尔集合论/Zermelo-Fraenkel set theory/杜国平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=229361&Type=bkzyb&SubID=104156

[2] ZFC. Encyclopedia of Mathematics

https://encyclopediaofmath.org/wiki/ZFC

[3] 2023-01-18，数学基础/foundations of mathematics/何浩平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=456822&Type=bkzyb&SubID=137849

   同时发展出的公理集合论成为了事实上的数学基础。

   20世纪初数学基础研究的结果，是数学家们在实践中接受了公理化的集合论作为经典数学的基础。

[4] 2022-04-21，十九世纪数学/mathematics in 19th century/袁向东，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=182506&Type=bkzyb&SubID=61733

[5] 2022-05-23，计算复杂性/computational complexity/陆品燕，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=207009&Type=bkzyb&SubID=81683

[6] 2022-01-20，时间复杂性类/time complexity class/许道云，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=208077&Type=bkzyb

[7] Mathematics. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mathematics

   The science of quantitative relations and spatial forms in the real world. Being inseparably connected with the needs of technology and natural science, the accumulation of quantitative relations and spatial forms studied in mathematics is continuously expanding; so this general definition of mathematics becomes ever richer in content.

   The clear recognition of the independent position of mathematics as a separate science became possible only after the collection of a fairly large store of factual material, and arose first in Ancient Greece in the 6th–5th centuries B.C.. 

   【机器翻译】现实世界中的数量关系和空间形式的科学。数学中所研究的数量关系和空间形式的积累与技术和自然科学的需求密不可分；因此，数学的一般定义在内容上变得越来越丰富。

   只有在收集了相当多的事实材料后，数学作为一门独立科学的独立地位才有可能得到明确承认，并于公元前6至5世纪首次出现在古希腊。

相关链接：

[1] 2023-06-29，[请教] P对NP（三）：“NP完全性, NP-completeness”之后

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1393466.html

[2] 2022-06-10，[请教] P对NP（二）：结果的相对性与“1+3”种证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342404.html

[3] 2012-03-23，[请教] P对NP：请***教授等专家指教（一）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-550859.html

[4] 2023-01-16，[搞笑？搞哭？汇集] 怎样判断“原创”和“诺贝尔奖成果”？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1372203.html

[5] 2015-05-22，The kernel of "P vs NP Problem": Axiom of power set!

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-892400.html

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