“人是社会关系的总和，人不能脱离社会而存在。”

物质世界是“普遍联系”和“永恒发展”的。

数学是现实世界中的“数量关系”和“空间形式”的科学。

真理越辩越明。

汉语是联合国官方正式使用的 6 种同等有效语言之一。请不要歧视汉语！

Chinese is one of the six equally effective official languages of the United Nations.

Not to discriminate against Chinese, please!

[讨论] P对NP（五）：宇宙“热寂”之前，“幂集公理”不会有太大的毛病？

   《中国大百科全书，第三版》词条“数学基础/foundations of mathematics”里写到：ZFC公理集合论是万有理论，能够推导出经典数学的所有理论。

   ZFC 即 Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice （带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）。该集合论公理系统由 Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo 在 1908 年提出，1919年 Adolf Abraham Halevi Fraenkel 改进。ZFC 第 6条公理是“A6) Axiom of infinity 无穷公理”，第 7条是“A7) Axiom of choice 选择公理”。争议是从第 6条公理开始的。前 5条公理，未见争议（至少未见明显的争议）。

   集合论里“策梅洛-弗兰克尔集合论 Zermelo–Fraenkel set theory”前 5条公理为：

A1) Axiom of extensionality:

   This is a fundamental principle of sets, that sets are to be determined solely by their members. 

A2) Axiom of the empty set:

   This axiom asserts the existence of an empty set; by A1), such a set is unique, and is denoted by the term ∅. 

A3) Axiom of pairs:

   This axiom asserts, for any sets x and y, the existence of their (unordered) pair, the set consisting exactly of x and y. This set is denoted by {x,y}. A3) implies, taking its y to be x, that for any set x there is a set consisting olely of x, denoted by {x}.

A4) Axiom of union:

   This axiom asserts, for any set x, the existence of its (generalized) union, the set consisting exactly of the members of members of x. 

A5) Axiom of power set:

   This axiom asserts, for any set x, the existence of its power set, the set consisting exactly of those sets v that are subsets of x.

   The axioms A3)–A5) are generative axioms, providing various means of collecting sets together to form new sets. The generative process can be started with A2), an outright existence axiom. 

A1）外延公理：

   这是集合的一个基本原则，即集合只能由其成员决定。

A2）空集公理：

   这个公理断言了一个空集的存在；由A1表示），这样的集合是唯一的，并且由术语∅表示。

A3）配对公理：

   这个公理断言，对于任何集合x和y，它们（无序的）对的存在，该集合恰好由x和y组成。这个集合用{x，y}表示。A3）表示，取其y对于x，对于任何集合x，都有一个由x组成的集合，用{x}表示。

A4）并集公理：

   这个公理断言，对于任何集合x，其（广义）并集的存在，该集合恰好由x的成员的成员组成。

A5）幂集公理：

   这个公理断言，对于任何集合x，其幂集的存在，该集合恰好由作为x子集的集合v组成。

   公理A3）~A5）是生成公理，提供了将集合汇集在一起形成新集合的各种方法。生成过程可以从A2）开始，这是一个完全存在的公理。

   纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。

   正如同在其他一切思维领域中一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来的规律而与现实世界相对立。

   纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义，这当然是正确的。但是在纯数学中悟性绝不能只处理自己的创造物和想象物，数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。

   从策梅洛-弗兰克尔集合论前面的头5条公理看：

   A2）空集公理，是从无到有的开始；

   A3）配对公理，是集合里不同元素引起的扩张；

   A4）并集公理，是不同集合引起的扩张；

   于是，

   A5）幂集公理的实质：上面这些扩张，构成的集合可以是“不同”的。用“幂集”表述这种“不同”，是一种回避争议的好方法。

   但是，两个集合之间的“不同”，不一定必须用“幂集”来刻画。应该存在比“幂集”更细微的“刻画”方法。

   因此，假如幂集公理被“打到/推翻”，则在一定程度反映了“无论那里都一样”的客观事实：从某种意义上看，相当于宇宙进入“热寂”。即宇宙进入到温度处处相等的热平衡状态。

   更准确些，当所有集合都一样时，宇宙里面的不同局部之间，已经无法再彼此区分。人类现有的知识，似乎无法描述这种“宇宙里面处处都一样”的状态。在这种状态下，“幂集公理”就彻底失去“现实”意义了；尽管它还可以作为纯粹的想象物而存在。当然，“宇宙里面处处都一样”时，我们人类已经不复存在。这种想象物也许是……

   所以，在宇宙“热寂”之前，不同事物之间总是有差别的。这种客观存在的“差别”，是“幂集公理”（或其更精细的具体形式）存在的客观物质基础。

   简言之，宇宙“热寂”之前，幂集公理不会有太大的毛病。

感谢您提出任何问题！

真理越辩越明。

参考资料：

[1] ZFC. Encyclopedia of Mathematics.  Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice

https://encyclopediaofmath.org/wiki/ZFC

[2] 2022-01-20，热寂说/heat death/罗嘉昌，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=245315&Type=bkzyb&SubID=137860

[3] 2023-01-18，数学基础/foundations of mathematics/何浩平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=456822&Type=bkzyb&SubID=137849

   同时发展出的公理集合论成为了事实上的数学基础。

   20世纪初数学基础研究的结果，是数学家们在实践中接受了公理化的集合论作为经典数学的基础。

   E.F.F. 策梅洛、A.A.弗伦克尔（Adolf Abraham Fraenkel）等人发展出的ZFC（策梅洛-弗伦克尔-选择公理）公理集合论，是今天通行的公理集合论。ZFC公理集合论是万有理论，能够推导出经典数学的所有理论。

[4] 2023-04-11，策梅洛，E.F.F./Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo/张锦文 撰、程钊 修订，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=182827&Type=bkzyb&SubID=61734

[5] Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, MacTutor History of Mathematics archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zermelo/

[6] 2022-01-20，弗兰克尔，A./Abraham Halevi Adolf Fraenkel/刘叶涛，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=140442&Type=bkzyb&SubID=101959

[7] Adolf Abraham Halevi Fraenkel, MacTutor History of Mathematics archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fraenkel/

相关链接：

[1] 2023-07-04，[请教] P对NP（四）：相关要点小结（问答式）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1394027.html

[2] 2023-06-29，[请教] P对NP（三）：“NP完全性, NP-completeness”之后

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1393466.html

[3] 2022-06-10，[请教] P对NP（二）：结果的相对性与“1+3”种证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342404.html

[4] 2012-03-23，[请教] P对NP：请***教授等专家指教（一）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-550859.html

[5] 2023-01-16，[搞笑？搞哭？汇集] 怎样判断“原创”和“诺贝尔奖成果”？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1372203.html

[6] 2015-05-22，The kernel of "P vs NP Problem": Axiom of power set!

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-892400.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！