一切节约归根到底都是时间的节约。

—— 一位真正的大专家，1857-1858

   浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间等于慢性自杀。

—— 一般归为鲁迅名言，1934

[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

   为今后不打断思路，尽力保证“大块连续时间 large continuous blocks of time”，特列出以前的相关博文网址。

   阅读黎曼 1859 年著名论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》半个多月了。根本看不懂。

一、感慨

   “黎曼假设 Riemann Hypothesis”，不愧为当今世界数学最著名难题，或称“当今世界数学第一难题”！

二、疑问

   （1）在黎曼从 J(x) 计算出 π(x) 时，用到了“worin für m der Reihe nach die durch kein Quadrat außer 1 theilbaren Zahlen zu setzen sind und μ die Anzahl der Primfactoren von m bezeichnet. μ 表示 m 的素因子的个数”。

   打听：计算 μ 时，是不是已经知道了 m 是否为素数？

   （2）计算“默比乌斯函数 Möbius function”μ(n) 时候，必须先知道所有 ≤n 的素数吗？

   （3）“对数积分 logarithmic integral, Li(x)”比“素数计数函数 prime counting function , π(x)”增长更快吗？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-11 23:11，[打听，科普，数学] 素数（121）：黎曼 1859 德文论文科学院出版版第 679 页里 μ 的含义‌

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543221.html

[2] 2026-07-02 20:52，[打听，科普，数学] 素数（112）：从黎曼 J(x) 计算出 π(x)，有哪几种具体的方法？特别是不用 Möbius 函数的具体方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541991.html

[3] 2026-07-08 23:07，[打听，科普，数学] 素数（118）：π(x)-Li(x), 1914年 Littlewood 到底证明了什么？原文哪里有？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542826.html

[4] 2026-07-09 22:24，[打听，科普，数学] 素数（119）：π(x)>Li(x), Skewes's number 斯奎斯数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542960.html

[5] 2026-07-05 22:56，[留念，科普，数学] 素数（115）：千问的评论：关于默比乌斯函数 Möbius function 与素数之间的关系

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542347.html

[6] 2026-06-22 21:42，[打听，科普，数学] 素数（102）：计算 Möbius Function 之前必须先知道素数吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1540480.html

[7] 2026-07-26 23:31，[打听，科普，数学] 素数（136）：黎曼 1859 论文阅读笔记（15），Li(x) 比 π(x) 增长更快？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545264.html

[8] 2026-07-25 00:14，[打听，科普，数学] 素数（135）：黎曼 1859 论文阅读笔记（14），求“俄译本注释”全文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545084.html

[9] 2026-07-24 22:53，[笔记，科普，数学] 素数（134）：黎曼 1859 论文阅读笔记（13），高斯遗作中的素数分布公式

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545078.html

[10] 2026-07-23 00:41，[笔记，科普，数学] 素数（133）：黎曼 1859 论文阅读笔记（12）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544771.html

[11] 2026-07-22 21:02，[笔记，科普，数学] 素数（132）：黎曼 1859 论文阅读笔记（11）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544757.html

[12] 2026-07-21 00:25，[笔记，科普，数学] 素数（131）：黎曼 1859 论文阅读笔记（10）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544466.html

[13] 2026-07-20 23:21，[笔记，科普，数学] 素数（130）：黎曼 1859 论文阅读笔记（9）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544463.html

[14] 2026-07-19 00:14，[笔记，科普，数学] 素数（129）：黎曼 1859 论文阅读笔记（8）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544203.html

[15] 2026-07-18 23:05，[笔记，科普，数学] 素数（128）：黎曼 1859 论文阅读笔记（7）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544202.html

[16] 2026-07-17 00:30，[笔记，科普，数学] 素数（127）：黎曼 1859 论文阅读笔记（6）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543945.html

[17] 2026-07-16 23:29，[笔记，科普，数学] 素数（126）：黎曼 1859 论文阅读笔记（5）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543942.html

[18] 2026-07-15 00:35，[笔记，科普，数学] 素数（125）：黎曼 1859 论文阅读笔记（4）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543653.html

[19] 2026-07-14 23:01，[笔记，科普，数学] 素数（124）：黎曼 1859 论文阅读笔记（3）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543650.html  

[20] 2026-07-13 23:04，[笔记，科普，数学] 素数（123）：黎曼 1859 论文阅读笔记（2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543505.html

[21] 2026-07-12 23:11，[笔记，科普，数学] 素数（122）：黎曼 1859 论文阅读笔记（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543333.html

[22] 2026-07-01 15:44，[图片，科普，数学] 素数（111）：黎曼 1859年论文，柏林科学院正式刊出版（1860）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541778.html

[23] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542143.html

[24] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537749.html

[25] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537747.html

[26] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537745.html

[27] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html  

[28] 2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1501040.html  

[29] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1378486.html  

[30] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1442702.html  

[31] 2024-11-25 22:49，[留念，树犹如此，独怆然而涕下] 新一页：2024-11-25。Zenas 定理、公理、论题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1461666.html  

[32] 2022-01-19 14:31，[留念] Zenas 公理（Zenas axiom）：10年之后进入SCI

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[33] 2023-08-01 17:50，[笔记] 重读《古今数学思想》序言有感

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[34] 2023-05-28 20:52，[好书推荐] 克莱因的《古今数学思想》 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times

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[35] 2024-11-19 22:49，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得、高斯对“算术基本定理”研究的有效性

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[36] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

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[37] 2024-11-15 22:52，[数学文化] 数学研究的“客观派”正式成立！

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[38] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1443609.html

[39] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1487066.html  

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