我算故我在分享 http://blog.sciencenet.cn/u/metanb

博文

学习笔记 [H.E. p.53]

已有 437 次阅读 2020-8-3 11:26 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]


《Galois theory》

H.E. p. 53

* * * ??

Now (B) follows immediately from the last corollary because this corollary shows that if t' is any conjugate of t then (set s = t') the substitutions of the roots that result from changing t to one of its conjugetes are the same as those that result from changing t' to one of its conjugates.

---- 根据前文推论,立刻看出 (B) 成立...

---- 推论显示,若 t' 是 t 的任一共轭,则将 t 带到 t' 的诸置换等于将 t' 带到其共轭的诸置换. (后半句的 t' 和 “其共轭” 指全部).

---- 原文中两处 “one of” 可以去掉.

.

温习:前文推论 —— 若 S 把 t 带到 t',则 S 把 s 带到 s'.

.

评论:设 { S }: t -> { t' },又设 { T }: s -> { s' },并取 s = t'. 则 { S } = { T }.

.

(The conjugates of t coincide with those of t' because in both cases the conjugates are the roots of G).

---- t 和 t' 的共轭集相等 (即 G 的根集).

.

Since (C) follows even more immediately from the last corollary, this completes the justification of the above definition of the Galois group of the equation f(x) = 0 as a group of substitutions of the roots of the equation.

---- 由上述推论,立得 (C) 成立...

---- 这样就验证了由(1) 定义的方程 f(x) = 0 的 Galois 群,是作为根的一个置换群.

.

Moreover, it shows that the elements of the Galois group can also be regarded as automorphisms of the field K(a, b, c, ...) over K...

---- 此外,上述论证表明 (如上定义的) Galois 群也可以看作 K 之上域 K(a, b, c, ...) 的自同构(群).

.

—— a fact which is not stated explicitly by Galois, but which is fundamental in most modern formulations of his theory.

---- 此事实 Galois 并未名言,但在其理论的大多数现代表述中是基本性的.

.

评论:命题1及两个推论是用来验证由阵列 (1) 给出的 Galois 群的正当性.

---- 此部分的表述显得有些累赘.

---- 应当强调,一般而言 Galois 群是根的 (完全) 置换群的子群.

.

关于 { S } 作为自同构.

---- 从阵列来看,t, t', t'', .... 中的每一个都 “标定” 了一个排列/置换.

---- 若 S 把 t 带到 t',而 t 和 t' 等都在多项式内部,则意味着 S 作用到了多项式内部.

---- 这已经体现出了 S 的自同构效应.

---- 具体地,设 t = Aa + Bb + Cc + ..., t' = Aa' + Bb' + Cc' +...

---- 其中 a', b', c', ... 系 a, b, c, ... 的一个排列.

---- 则应该有 S(t) = t'.

.

关于“预解式”(resolvent).

---- 此书中拿 t 作为预解式.

---- 但有些资料以 G(X) 作为预解式(见百度).

.

关于多项式 φr.

---- 下标有些令人困惑...

---- { φr } 共有 n 个成员.

---- 这 n 个成员的顺序是固定的.

---- 变化的是括弧内的 t.

---- 所以,下标只是固定这些多项式的位置.

---- 期待看到 φr } 的具体例子.

.

小结:S41 读写完毕.(需要温习几遍).

* * *??





http://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1244804.html

上一篇:学习笔记 [J.P.S. p.73]
下一篇:诸方之和的“基态版”

1 张忆文

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-9-29 13:23

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部