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学习笔记 [J.P.S. p.73]

已有 451 次阅读 2020-8-2 16:00 |个人分类:[Graduate Gate]|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois cohomology》

J.P.S. p.73

* * * 13:30

Corollary. Let n be an integer ≥ 1, prime to the characteristic of k. 

---- 令 n 为自然数,并且与 k 的特征互质.

---- 基本域 k 的特征是什么 ?

.

Let μn be the group of n-th roots of unity (in ks).

---- 令 μn 是第n个单位根的群 (于ks).

.

We have: H(k, μn) = k*/k*^n.

---- 则有 H(k, μn) = k*/k*^n.

.

评论:给出例子 H(k, μn) = k*/k*^n.

---- Gal(ks/k) 作用于 A(ks) 得到 k*/k*^n.

---- 此处 A(ks) 取 μn.

---- k* 含义待考.(?)

.

注:以上是推论的叙述.

.

We have an exact sequence: 1 --> μn --> Gm -n-> Gm --> 1, where n denotes the endomorphism x -> x^n.

---- 我们有精确序列:  1 --> μn --> Gm -n-> Gm --> 1,n 代表 自同态 x -> x^n.

.

评论:箭头序列在代数中挺常见,其含义待考.(?)

---- 凡是常见的都是“方法”.

---- 此处的精确序列似乎出于作者的设计和构造.

.

From this follows the cohomology exact sequence: k* -n-> k* --> H¹(k, μn) --> H¹(k, Gm).

---- 由此得上同调精确序列: k* --> k* --> H1(k, μn) --> H¹(k, Gm).

.

The corollary follows since H¹(k, Gm) = 0, by prop. 1.

---- 由命题1 H¹(k, Gm) = 0 从而推论成立.

.

注:以上三句是推理的证明 (两个序列结合命题1).

---- 证明省略了“proof”,系非正式风格.

.

Remarks.

1) The same argument shows that H²(k, μn) may be identified with Brn(k), the kernel of multiplication by n in Br(k).

---- 可能用到了 H²(k, Gm) = Br(k).(?)

.

2) If μn is contained in k*, one may identify μn with Z/nZ by choosing a primitive n-th root of unity.

---- 若 μn 含于 k*,则可让 μn 和 Z/nZ 相等 (通过选择原始的第n个单位根).

.

The corollary above thus gives an isomorphism between the groups k*/k*^n  and Hom(Gk, Z/nZ) = H¹(k, Z/nZ).

---- 上述推论给出了群 k*/k*^n 和 Hom(Gk, Z/nZ) = H¹(k, Z/nZ) 之间的同构.

.

We recover the classical “Kummer theory” (cf. Bourbaki A.V. S11.8).

---- 我们恢复了经典的 Kummer 理论 (参见...).

---- Kummer 理论该是指上述同构.

.

小结:推论给出了例子 H(k, μn) = k*/k*^n,并联系到 Br(k) 群 和 Kummer 理论.

.

注:完成了 Ch2.S1.(共两页)

* * * 16:00




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1 宁利中

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