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诸方之和的“基态版”

已有 527 次阅读 2020-8-4 12:55 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[按:下文是群邮件的内容,标题出自内文。]

导言:通俗地回顾多项式方程的 Galois 群之建立过程,提出若干解释,并以若干疑问结束。

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一、预解式与自同构

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设 f(x) = 0 是系数在 K 中的 n 次多项式方程,假设它有 n 个不同的根 a, b, c, ...

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伽罗瓦引入了式子: Aa + Bb + Cc + ...称作“(Galois) 预解式”其中 A, B, C, ... 为适当选取的整数 *。这个式子可以看作关于 a, b, c, ... 的 n 元一次多项式。它有意思的地方是:1)包含全部的根;2)具有内积形式;3) 每一项是 “两物并立” (~ 矩形面积),此为 “方”,故整个式子是 “诸方之和” (基态版)4)每一项都是一次式 (用原子物理的术语它有点象 “基态”),意味着 “法” 。

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若在预解式中,大写字母固定不动,小写字母做全排列,就得到 n! 个派生的式子 * (含原本的式子)。由于这些小写字母位于内积结构之中,伽罗瓦对它们做排列,相当于给相应的置换 (隐含地) 赋予了 “自同构效应”下面对此加以说明。

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清楚起见,给预解式引入记号 Ψ(a, b, c, ...) = Aa + Bb + Cc +... . 对其中的小写字母做个排列 (相应的置换记作 S),记作 a', b', c', ...,则有 Ψ(a', b', c', ...) = Aa' + Bb' + Cc' +... . (或者写出带有置换 S 的形式,即 Ψ(Sa, Sb, Sc, ...) = ASa + BSb + CSc +... ) 。但是,这种做法是 “手动操作”。从数学上合规的做法来说,是要对 Ψ(a, b, c, ...) 做一个变换,即 S: Ψ(a, b, c, ...) -> Ψ(a', b', c', ...)。换个写法S(Ψ(a, b, c, ...)) = S(Aa + Bb + Cc +...) = ASa + BSb + CSc +... = Ψ(Sa, Sb, Sc, ...)

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观察上述最后式子的两头及中间过程,可以看出 S 附带着性质:S(u + v) = S(u) + S(v); S(u·v) = S(u)·S(v),其中 u, v 是 A, B, C, ... 以及 a, b, c, ... 中的成员。而符合这种性质的映射称作自同构

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星号注:术语 “式子” 是把小写字母当成符号而言的。由于这些小写字母代表方程的根,本身是数值,而大写字母也是数值,因而预解式也是个数值。伽罗瓦要求:大写字母的选择,要使得到的 n! 个数值互不相等。

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二、F(X)和 G(X)

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上面由预解式得到 n! 个派生的式子,记作 { ASa + BSb + CSc +... } 或 { Ψ(Sa, Sb, Sc, ...) },其中 { S } 是 n! 个置换。设 F(X) 为 n! 次多项式,它的 n! 个不同的根为  { Ψ(Sa, Sb, Sc, ...) }。设 G(X) 为 F(X) 的不可约因式,并且两者有共同的根 Aa + Bb + Cc + ... . 引入记号 t := Aa + Bb + Cc + ... . G(X) 的其它的根记作 t', t'', t''', ... .

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说明:F(X) 可能有多个不可约因式,此处的 G(X) 特殊在与 F(X) 以 t 为公共根。由此,G(X) 就得以固定。

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三、φ 和 Galois 群

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引入 t 和 r 之间的 (多项式) 映射φ: t -> r,即预解式和根之间的映射。对于不同的根,映射φ也不同 (cf. 行列式和解之间的关系)。所以更准确的写法是 φr: t -> r,也就是φr (t) =r。罗列出每一个根的映射表达:

φa (t)     φb (t)     φc (t) ...

接下来的事情是依次用 t', t'', t''', ... 替换φr (t) 中的 t,从而得到:

​φa (t')    φb (t')    φc (t') ...


​φa (t'')   φb (t'')   φc (t'') ...

...

如上的阵列可以称之为 伽罗瓦φ-阵列奇妙的是:该阵列 “表述” 了一个群,其各行只是根的排列,并且与 t 的选择无关;称之为 Galois 群。

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四、n = 3 的情况

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为了理解上面的事情,考虑 n = 3 的情况。此时 t = Aa + Bb + Cc。如何建立 t 和 a, b, c 之间的φ映射?... 也许这件事情只能从理论上考虑。现在的疑问是,整个这套操作是怎么想出来的?比如,为何会想到写出那个阵列?是什么促使伽罗瓦这样做?背后的原则是什么?建立φ映射的动因是什么?为何会想到预解式的那种形式?




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5 苏保霞 张鹰 张忆文 郑永军 李学宽

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