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【心路34】坠落之福

已有 1140 次阅读 2017-11-27 21:26 |个人分类:心路|系统分类:生活其它

继续之前,先写几段“人话”...(第七段开始的推导,一眼看上去会觉得陌生或繁琐,但除了简单求导以外,运算层面属于初中水平)
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周二*推导了“速度的加法定理”。狭义相对论其实并不“难”,只是有一定的隐蔽性和巧妙之处。本来,谈及运动的时候总是考虑“质点的运动”。可是“光”也在运动——如果光的传播也算一种运动。但是,在质点运动学中完全忽视了光的存在,后者具有迄今观测到的最大速度。这就好比一群小孩子相互作用,比如,做泥娃娃。他们中做得最好的,也无法和“泥人张”做的泥娃娃相提并论。小孩子群体内部忽视泥人张的存在,改变不了后者客观存在的事实。而当考虑运动物体与光/电磁波的相互作用时,就意味着要把原来分开考虑的两类运动纳入到一个体系中,建立统一的理论。这样,就得分两步走。一则,考虑运动质点和光的相对运动问题,这是一切物理学的基础工作(物理学主要地就是研究物体的各类运动及其规律);二则,解决电磁波运动中的矛盾(不对称现象、“以太”零飘移等)。
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我记得光在水中的传播速度要慢一些,这意味着光和水之间存在着相互作用,就好像水把光给拖慢了(至少表观上是这样)。这里面的内因值得探究。另外,我想到一个绝妙的问题:光的反射花费时间吗?至少,在狭义相对论中,发生反射的时间是忽略不计的。光传播的速度很快,从V改变方向变成-V,不用花费任何时间——这件事情(在我看来)是非常惊奇的。必须注意,狭义相对论考虑的“光”是一种“理论光”,它是有抽象和简化在里面,而麦克斯韦方程仅是电磁波的数学模型,也是理想化的产物。任何理论,不要把它“看死”或绝对化。狭义相对论就是个理论模型而已
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这几天想起来,老李以前经常说,他的思想很早就定型了,说十几岁的时候就意识到,知识(?)是生产力剩余的产物。是不是“知识”记不清楚了,但他经常提起“生产力剩余”这一点,我是有确切的印象。我概括一下:思想起源于清闲。高观点中的“无冗余”,它的反面就是“冗余”。所以,这个事情也可以放到“高观点”下加以审视。
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生产力有冗余以后,人们得以腾出时间思考。这个生产力主要是指“生活物资”的生产力。当生产力发展到一定程度的时候,不需要所有的人都参与生产,却能获得满足所有人的生活物资,即“生产力有剩余”。不参与生产的人,当然是有了一定的“特权”。到了后来,思考本身也变成了生产,人们在彼此的追逐中,又丧失了那种“剩余”。特别地,指定了考核一类的指标后,把人们送上了无休止的知识生产过程,好像谁停下来谁就会被淘汰。这种“竞争的恐慌”使得人们疲于奔命,不大可能有深入的思考
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为了找回那种“剩余”,必须引入“冻结”机制,允许人们中途退出追逐,重新腾出时间,进行深入的思考。这个想法可以作为一种“理论依据”。其实,任何时候,人们的行为总是受到头脑中的某种“理论”控制和指引的。这里说的“理论”不一定是长篇大论,也不见得是成型的,而往往是以“经验”的形式存在于人们的头脑中,具有动态性和鲜活性。我的研判,可有可无的研究和论文已经过剩了,而艰深的研究又很难懂——现在必须反思这个事情。我的行动纲领,就是建立《元学》 。够我玩一壶的。刚好,我也建立了点“小特权”,部分受到某部电影的启发,部分也是现实所迫,暂时有这个条件。我会避免落入空洞,这是必须的。我有精神支柱,也不着急。
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最近看了一篇有趣的博文*,《The Merit of Procrastination》 (拖延的奖赏),提出不必完成“To-do list”上的所有事项,因为 —— “A problem / task if left alone often disappears or resolves itself.”  呐,文章不写放在那里,要是别人做出来了,你就不用费事了嘛,也说明它没那么重要;若是“非你莫属”,放多久别人也想不到、做不出,也不用急。退一步,大不了落入平庸,那些做了很多的人,疲于奔命,(最终)多数也是落个平庸
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言归正传。原著第5节,考虑动系k里“一个点”的匀速直线运动,分解为沿 xi 轴的匀速直线运动和沿eta轴的匀速直线运动,速度分量分别为w[xi]和w[eta]。他要“求解这个点相对于K系的运动”。这样呢,作者就套个公式,也就是原著第3节推导出的(洛伦兹)变换,套用一下,就得到相对于静系的运动方程(即“速度的加法定理”):
x=beta'(w[xi]+v)·t,
y=beta'·sqrt(1-v^2/V^2)·w[eta]·t.
其中,beta'=1/(1+v·w[xi]/V^2)。这里引入beta' 的记号,公式的形式更好看一点。
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周二的推导中仔细考察了其中的物理意义,也就是符号 x 和 t 的含义。这个运动方程,表达的是从静系观察到的“表观运动”,而在(且仅在)静系原点及t=0,也表达真实运动。这个表观运动的速度分量:X轴上的速度分量 beta'(w[xi]+v),比经典的速度合成公式多了个beta'因子,有所收缩(v=w[xi]=V时,beta'=1/2,即极限情况下X轴方向的速度会收缩一半);Y轴上的速度分量beta'·sqrt(1-v^2/V^2)·w[eta],比经典的情况多了两个收缩因子:beta'和1/beta,这一点有所出乎意料。因为动系在垂直方向上似乎没有相对于静系的运动(只是似乎)。
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以上是回顾周二的推导。继续推导原著第5节后半部分的几个小性质。作者写道:
U^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2,
w^2=w[xi]^2+w[eta]^2.
alpha=arctan(w[xi]+w[eta]).
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这里啊,U 和 w 是作者引入的记号,分别表示静系(K)和动系(k)中的合速度。作者将alpha“看作是v和w两速度之间的交角”。作者推导出U的表达式:
U=sqrt[(v^2+w^2+2v·w·cosα)-(v·w·sinα/V)^2]/(1+v·w·cosα/V^2).
分母上的 (1+v·w·cosα/V^2) 其实就是 (1+vw[xi]/V^2)。按之前beta'的定义,有:
U=beta'·sqrt[(v^2+w^2+2v·w·cosα)-(v·w·sinα/V)^2].
作者写道,“值得注意的是,v和w以对称的形式进入合成速度的表达式里”。
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具体推导原文中省略了,这里做个练习。(下学期就让学生推导狭义相对论里的公式,事先不告诉他们相对论和爱因斯坦这码事。我要告诉他们说,只是做一道普通的“初中水平的应用题”,等他们推导完了,最后再跟他们讲,嘿嘿)。之前得出了x 和 y 的表达式,分别关于 t 求导:
dx/dt = beta'·(w[xi]+v),
dy/dt = beta'/beta·w[eta]
于是:
(dx/dt)^2 =(beta')^2·(w[xi]+v)^2=1/(1+vw[xi]/V^2)^2·(w[xi]^2+2w[xi]·v+v^2)  =(w[xi]^2+2w[xi]·v+v^2)/(1+2vw[xi]/V^2+v^2w[xi]^2/V^4).
(dy/dt)^2=(1-v^2/V^2)·w[eta]^2/(1+vw[xi]/V^2)^2   (1+2vw[xi]/V^2+v^2w[xi]^2/V^4).
上面两式相加,得:
U^2=[(1-v^2/V^2)·w[eta]^2+(w[xi]^2+2w[xi]·v+v^2)]/(1+vw[xi]/V^2)^2  (1+2vw[xi]/V^2+v^2w[xi]^2/V^4).
=.=.=.
观察U^2的分子,有两组算式,第一组展开后的第一项、第二组的第一项,两者相加得 w^2,其余的放着不动。则有:
U^2=(w^2+2w[xi]·v+v^2-w[eta]^2·v^2/V^2)/(1+vw[xi]/V^2)^2
     =(w^2+2w[xi]·v+v^2-(w[eta]·v/V)^2)/(1+v·w[xi]/V^2)^2
注意到w[xi]·v=v·w·cosα,w[eta]·v=v·w·sinα,再对上式两端开方,即得U的表达式(见前文黑体部分的公式)。
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注:上文推导中,第一个灰色带下划线部分,意思是删除——分母不必展开。后面的情况一样(用红色部分替代删除部分)。保留推导中出现的弯路,也有某种用途,毕竟里面凝结了“人类时间”。(其实,如果你变身为小蜜蜂,飞到那些“天才”的办公桌附近,你就会知道,他们也无非是东摸西撞地在黑暗中摸索——只不过比一般人多了一些耐心罢了——如果你跟到他们后面只能收获更大的迷惑,就像中学时给其他同学讲题一样——你讲完后他们也确实懂了,但也留下了更大的困惑和打击——为什么他就能想出来?哈)。各位中有对相对论感兴趣的,自己推导应该效率会更高(但估计不会像我这样想那么多)。
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接着,作者写道“如果w也取X轴的方向,那末我们就得到:U=(v+w)/(1+vw/V^2)”。这就是运动的点沿着X轴的情形,属于一种特例。这种情形下更容易看清楚一些事情。比如,作者推导出一个有趣的结果。“从这个方程得知,由两个小于V的速度合成而得的速度总是小于V。” 他是这样推导的。取v=V-kapa,w=V-lambda,其中V是光速,kapa和lambda是正的且小于V(它们可以很小),然后代入U的表达式(那个蓝色加厚的公式),得到:
U=V·(2V-kapa-lambda)/(2V-kapa-lambda+kapa·lambda/V^2)<V.
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这个结果给人一种“闷骚”的感受。但其实就是那个分母在作怪。当然,这个结果也给这理论一种明显的说服力。作者另起一段继续写道,“光速V不会因为同一个`小于光速的速度'合成而有所改变。在此场合下,我们得到:
U=(V+w)/(1+w/V)=V”。又来一个闷骚,而且fairly amusing。原著的审稿人看到这些magic肯定会觉得惊奇和好玩。急切地想知道他究竟是怎样评论的(也许遗失了?保留的话可以拍卖个好价钱...)。 
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原著后文还有两段,应该是比较显然的。昨天推到今天,还是提不起精神,干脆偷个懒,不推导了。(这些内容是从周六开始写的,跨了三天)。
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照例,放首歌儿~(我还没听)

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注:本文首发于群邮件[Graduate Gate..Saturday] ,原标题“论闲暇”。



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2 张云 宁利中

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