对于数学第一性原理的思考，源于一个深刻而有趣的问题：“五分钟如何让学生真正理解数学？”提出该问题的是著名物理学家、教育家、原中国海洋大学行远书院院长钱致榕先生。本文将数学的第一性原理归结为如下8条。

钱致榕先生

第一条：公理化方法

       这无疑是延续两千多年数学理论的演绎范式，源头可以追溯到欧几里得的《几何原本》。在《几何原本》中，欧几里得通过23条定义、5条公理和5条公设，只凭借逻辑推理便得到了400多个命题，将从古埃及和古巴比伦时代流传下来的几何结论尽纳其中。

欧几里得

       欧几里得的公理化方法深深的影响了后世的数学家和科学家，比如：

       1. 牛顿在《自然哲学之数学原理》中，以牛顿三大定律，万有引力定律和绝对时空观为公理，以欧氏几何为工具建立经典力学体系，标志着近代物理学的开端。

       2. 希尔伯特在《几何基础》中改进了《几何原本》中过度依赖于直觉的部分，以5组20条公理把欧氏几何变成一个更加抽象严格的公理化系统。

       3. 爱因斯坦在《狭义与广义相对论浅说》中以相对性原理（惯性系平权）和光速不变原理为公理，以初等数学为工具建立了狭义相对论。以广义相对性原理（参考系平权）、等效原理、马赫原理和引力场方程为公理，建立了现代物理学的一大支柱——广义相对论。

       4. 量子力学的正统诠释——哥本哈根诠释以互补原理、对应原理、波函数的概率解释、不确定性原理和测量导致的波包塌缩为公理，建立了现代物理学的另一大支柱——量子力学。

第二条：算法系统

       《几何基础》的成功深深的震撼了希尔伯特，作为20世纪最伟大的数学家之一，他所追求的当然不是一城一地的得失，而是整个数学体系的和谐。这方面代表性的工作，除了在1900年第二届国际数学家大会上提出的23个数学问题，为20世纪数学的发展指明了方向外，希尔伯特还凭借他崇高的威望和哥廷根学派作为数学中心得天独厚的优势，掀起了一场轰轰烈烈的公理化运动。

       希尔伯特当初的设想是希望对数学的每一个分支，通过选取其中合适的几条公理，凭借逻辑推理把相应的数学体系构建出来。但后来我们知道，如果只借助于逻辑推理，根据哥德尔的不完备性定理，对于任一可容纳皮亚诺算术公理的数学系统，无论如何选择公理，总会有一些结论既不能被证明，也不能被否定，这说明人类的逻辑本身可能有某种缺陷。

       如何克服这种缺陷呢？也许中国传统数学中的算法思维是一个不错的选择。国家最高科学技术奖得主吴文俊院士曾预言，几百年之后，数学的主流范式可能会由公理系统转化为算法系统。他创立了数学机械化，希望像“蒸汽机把人手从体力劳动中解放出来那样，把人脑从脑力劳动中解放出来”。

吴文俊先生

       如果说整个数学大厦就像一个庞大的图，那么数学中概念、定理和猜想，以及它们的否命题就是图的节点，逻辑推演的过程，实际在图上连边。作为一个拥有海量节点和边的复杂网络，根据复杂网络的六度分离原理，任何两个顶点之间一定能够通过边来连接。

       但是如果把全体数学这个大图一部分遮盖住，只看其中的一部分子图的话，当然就会有一些代表命题和否命题的节点是孤立的。这就意味着这些孤立节点所代表的数学结论，在小的数学系统里既不能证明，也不能否定，这就是哥德尔不完备性定理用图的语言表达的版本。

       为了彻底揭开哥德尔的封印，我们必须考虑把所有数学概念、定理和猜想都容纳进去大数学体系，也就是完全数学图。但这个完全数学图太过于庞大，可能必须借由量子计算机才能完成，而且由于量子计算网络与人脑的神经网络非常相似，不但可以寻找最短路或局部最短路，甚至还可以构建新的数学节点，也就是提出新的数学概念，发明新的数学。

第三条：结构主义

       根据法国著名的布尔巴基学派的观点：数学是研究各种数学结构的学科，所谓的数学对象只不过是附加了各种数学结构的集合。基本的数学结构有三大类：代数结构、拓扑结构和序结构。布尔巴基学派的结构主义无疑是研究数学的内功心法，可以使我们从纷繁复杂的数学定义、定理和公式中梳理出问题的本质，比如以下的例子。

布尔巴基学派

       1. 我们刚开始学习高等数学的时候，最早接触的是单变量微积分，研究定义域和值域都为实数的函数的连续性、可微性以及可积性。为什么从这里开始呢？因为实数本身具有代数、拓扑和序三大结构，结构非常丰富，因此得到结论的过程也相对简单，结论也非常丰富。

       2. 如果在集合上添加拓扑结构，就变成了一个拓扑空间，在此拓扑空间中添加微分结构，就变成了微分流形，在此微分流形上添加度量结构，就变成了黎曼流形。将度量结构按照一定的方式沿时间演化，就变成了佩雷尔曼最终解决庞加莱猜想的Ricci流。

       3. 如果在集合上添加线性结构，就变成了一个线性空间，在此线性空间中添加范数结构，就变成了赋范线性空间，特别的如果该范数还能满足平行四边形公式，则此赋范线性空间就可以诱导出内积结构，变成内积空间。

       结构主义的理念使得我们可以清楚的看懂数学发展的未来趋势。

       1. 将各种结构有机结合，研究结构交叉得到的新的数学对象，比如将微分结构和群结构结合得到的李群。

       2. 以问题和猜想为导向来构造新的结构，比如对丢番图方程的研究促进了对椭圆曲线的群结构与对应模形式的研究。

       3. 研究不同数学结构之间的关联和对应关系，比如被誉为“数学大统一理论”的朗兰兹纲领和菲尔兹奖得主孔涅的非交换几何。

第四条：线性化

       目前所接触到的较为成熟的数学体系大都是线性的，这也非常自然，毕竟人类大脑的思考方式就是线性的。比如微分学用切线来逼近曲线，而积分学用矩形面积来近似曲边梯形。事实上整个微积分就是通过“以直代曲”来线性化问题，而研究线性系统的利器就是线性代数。这也是为什么大学数学在学习《微积分》的同时还要学习《线性代数》的原因。 

      微积分的源头可以追溯到古希腊时代的阿基米德，这位被誉为“数学之神”的天才在人类历史上第一次得到了正确的球体积公式，要知道这在古代中国是由三位伟大的数学家刘徽、祖冲之和祖暅联手才得到的。阿基米德他所用的方法本质上就是“微元法”，如果他能找到理想的传人把他的学说体系有效传承的话，也许在两千多年前人类就会发明微积分，数学和科学的发展无疑会更早的进入快车道。难怪数学的最高奖菲尔兹奖的金质奖章上，赫然印着阿基米德的头像。

菲尔兹奖

第五条：非线性

       线性的问题本质上只是一种理想化，在现实世界里我们碰到的大多数问题都是非线性的。非线性实际上是一种由简单制造复杂的有效机制，直观上来看如果线性对应于平直，非线性就对应于弯曲。现实世界中大多是复杂问题的核心就是非线性，比如以下的例子。

       1. 描述海洋、大气等流体变化的纳维-斯托克斯方程就是典型的非线性偏微分方程，对于其解的存在性与光滑性问题被列为千禧年七大数学难题之一。由于其对于初始误差的指数级放大效应，会出现像蝴蝶效应这种令人匪夷所思的现象。

       2. 广义相对论中描述引力的爱因斯坦引力场方程也是非线性方程典型代表。引力场方程的本质正如约翰•惠勒所说的：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。”从本质上说这是由10个二阶非线性偏微分方程组成的方程组，其复杂程度可想而知，即使是爱因斯坦也未得到一个精确解。就是这样一个非线性系统，决定了小到行星、恒星，大到星系、宇宙的演化进程。

蝴蝶效应

       值得指出的是，非线性系统的机理其实是完全确定的，其本质可能也是非常简单的，只是由于非线性的放大效应经过时间累积表现出了复杂。

第六条：随机性

       与非线性系统在本质上的确定不同，有些系统的背后机理其实并不清楚，甚至于可能底层机制就是随机的，比如量子力学的正统诠释——哥本哈根诠释就是以波函数的概率解释为基础，将随机性从宇宙的底层逻辑上演绎到了极致。当然以玻尔为代表的哥本哈根学派遭到了物理学的教皇——爱因斯坦的激烈反对，爱因斯坦认为“上帝不会掷骰子”，但正像玻尔所反驳道的“爱因斯坦，别去指挥上帝怎么做”那样，现代物理实验预示着或许上帝真的掷骰子。

爱因斯坦与玻尔

       对于随机性问题，人们不得不采用一种妥协的策略，即利用概率和统计策略。但这类策略的未来也可能出现如下三种情况。

       1. 本质机理被揭示，说明该问题本质上并非随机性问题，自然可以利用明确的机理进行分析，当然也有可能面对由于非线性所带来的长时间准确性的缺失。

       2. 本质的机理不能完全由逻辑来阐释，需要呼唤新的数学范式，至于这一新的范式具体是什么现在不得而知。

       3. 底层逻辑就是随机性的，无法被确定的机制所描述，所以需要统计方法来进行海量数据的积累和挖掘，以概率为语言描绘出规律，最典型的就是波函数的概率解释（玻恩还因此获得了诺贝尔物理学奖）。

第七条：宇宙立法 

      就如“物理学的尽头是数学，数学的尽头是哲学”所言，任何一套科学理论最终都要以数学的形式来呈现。伟大的革命导师马克思曾说过：“判断一门学科成熟与否的标志，就是看数学是否进入了这门学科。”具体来说就是，当一门学科趋于成熟时，一定会对其主要的研究对象之间的量化关系，以及随时间和空间的变化有了深入的理解，而刻画这种关系和变化最好的工具或者语言就是数学，来实现对现实世界进行的符合逻辑的模型投影。

       因此数学王子高斯曾说过：“数学是自然科学的女皇……”认为数学对于科学起着统御全局的地位。当然也有人认为“数学是自然科学的奴仆”，起着工具人的角色。不管怎么说，任何一套科学的理论，都可以通过数学模型来实现，如以下例子所述。

       1. 经典力学中的核心——牛顿第二定律，从数学观点来看就是一个二阶常微分方程（组）。

       2. 电、磁和光的基础——麦克斯韦方程组，从数学的观点去看，就是一阶线性偏微分方程组。

       3. 爱因斯坦最伟大的贡献——广义相对论，在数学中对应黎曼几何。

       4. 如果去审视现代物理，比如说杨-米尔斯规范场理论，这最终可以导出粒子物理的标准模型，从数学上看就是纤维丛理论，而这套理论比杨-米尔斯规范场要早20年。

杨-米尔斯规范场

       难怪杨振宁先生曾问陈省身先生：“你们数学家是怎样在没有任何物理背景的前提下，单凭逻辑就发明了纤维丛理论呢？”陈省身先生是这样回答的：“不不，纤维丛不是我们数学家发明的，它是客观存在的，本来就在那里，我们数学家只是偶尔因为灵光一现发现了它。”这就是数学中所谓的“文章本天成，妙手偶得之”。

       既然科学的任何理论最终都会在数学里面找到对应，如果我们反过来想，是不是任何一个数学理论，都可以找到科学的背景呢？换句话来说，如果我们把世界分成现实世界和数学世界，按照陈省身先生的观点，数学世界应该也是客观存在的。刚才说过的观点从映射的角度看，我们可以建立从现实世界到数学世界里的单射，但至于是不是一一映射，乃至同构或者同胚，我们就不得而知了。

       但我们知道还有这样一句话：“科学研究的是Our World，而数学研究的是One World。”什么意思呢？就是说对于数学理论无论其得到的结论看起来多么荒谬，多么有悖于人类的常识，只要在逻辑上无懈可击，能够自洽，在数学上都是有意义的。因此数学所包含的范围广得多，不需要非得反映现实世界，或者说我们所在宇宙的运行规律，只要逻辑上没有问题就可以。就像李连杰先生在电影《霍元甲》中所说的“天下武学本无高低之分，习武之人才有强弱之别”，数学模型本身也绝无高低之分，只是针对于具体系统才有强弱之别。

       对于以上这个观点，大数学家外尔的阐述尤为精彩！外尔曾说过：“我毕生在追求真与美，如果只能选择一个的话，我宁愿选择美！”如果把同样的问题去问爱因斯坦，他虽然开始会犹豫，但最终一定会选择真。如果去问海森堡，他可能会毫不犹豫的选择真！看出来了吧，这就是数学家和科学家思维的不同。

第八条：道法自然

       如果只是靠逻辑推理来发展数学理论，难免会碰到很复杂的情况，单靠逻辑也许很难找到一条正确的道路。但如果我们承认“数学是宇宙的语言”，也许可以从自然界中获得启发。比如在弦理论学家的启发下，一些困扰数学家许多年的老大难问题得到了完美的解决。难怪有人形容弦理论学家像来自于未来失意的人，只记住了数学证明的只言片语，但就是这关键的几步，给了数学家的严格证明以极大的启发。

       原因可能就在于弦理论是万物之理（Theory Of Everything）的备选方案之一，所依托的物理背景是整个宇宙的奥秘。这就好比通过对乔布斯的iPhone的模仿，使人类进入了智能手机的时代。而道法自然，在某种意义上是求师于上帝。当然这里的上帝并不是指具有人格意义上的上帝，而是指造物主或者自然规律。

道法自然

       就像李政道先生所说的：“真正创造性的科学发现，都不是靠逻辑推理推出来的，而是靠猜出来的（灵光一现）。”这也容易理解，因为单凭逻辑推理的话，从A推出B，B一定是弱于A的，最多是和A等价。因此单凭逻辑推理，最终只是将作为第一性原理的公理，以较弱或者等价的形式重新展现，不会产生本质上新的东西。       因此要想实现科学的跳跃式发展，必须依靠那些宝贵的灵光一现，如以下例子。

       1. 道家的无中生有，佛家的缘起性空，和现代物理学的真空不空有异曲同工之妙。

       2. 法拉第引入场的概念，被爱因斯坦认为是牛顿以来最重要的发现。

       3. 爱因斯坦发现质能方程、引力的本质是时空弯曲的几何效应、EPR佯谬（量子纠缠）。

       4. 海森堡发现的不确定性原理，是宇宙大爆炸、黑洞霍金辐射的原因。

       5. 狄拉克预言反物质，将物质种类翻了个翻。 

       6. 代数几何的上帝——格罗滕迪克创立的现代代数几何学。

       7. 达尔文提出的自然选择学说：物竞天择，适者生存。 

       8. 沃森和克里克解析了DNA的双螺旋结构，克里克提出了分子生物学的中心法则。

       就像中国科幻四大天王之一、《三体》作者刘慈欣在小说《朝闻道》中说的：“从仰望星空到飞上太空之间的距离，其实就相当于发现宝石弯腰捡起来的过程，它们之间只是相差弯腰那一小步，所以更重要的是发现宝石——仰望星空。