任何公理的设立都必须非常小心，要经得起反复推敲，否则很容易造成很大的错误。

无穷公理认为存在一个包含所有自然数的集合，既然这个集合已经包含了所有的自然数，这个自然数集合就是唯一的。然而，任何无限大的长方形矩形的行标和列标都可以表示成形如｛1，2，3......｝的自然数集合，但是行标集和列标集并不相同，这是无穷公理所无法解释的。

这样的无限大长方形矩阵有无限多个。

倒如，以十进制小数为例，以零为循环节的有理小数，由不循环部分加上零所组成。例如，0.12340000……有4位不循环小数。由于每一位不循环小数都可以在0~9里面取值，因此，如果有不大于n位的不循环小数，以0为循环节的小数共有m=10^n个。例如，n=2时有0.0…….0.10…….……0.990……共100个以0为循环节的有理小数。

    若以n为列标，m为行标，则可形成一个mxn的长方形矩阵。完全不需要集合论的任何概念和知识，仅仅根据数学分析，容易证明，n→∞时，Lⅰm(m/n)=∞，从而得到一个无限大的长方形矩阵，且这个矩阵的宽（列标数）长（行标数）比（Lⅰm(n/m)=0）趋于0，是无限狭长的。

上述推导只需要用到可靠的数学分析，因此结果是高度可靠的。然而，如果用集合论来解释得到的结果，却会碰到问题:行标和列标都可以表示为｛1，2，3.....｝,显然都是无限的自然数集合，但是却不相同，与无穷公理矛盾！

如何解释无穷公理存在无限多的反例这一事实？

笔者以为，无穷公理在逻辑上是自相矛盾的:自然数的数值可以通过+1而无限增长，永远不会停止，而一个已经包含所有自然数的集合，则不具有这个性质，否则就与“已经包含所有自然数”矛盾。也就是说，自然数集合并不是一个完成了的，已包含所有自然数的静态的无限集合，而是一个可以通过+1而不断增加其元素的动态的无限集合。这就很好地解释了之所以会有不同的自然数集合的原因:处于不同的动态的自然数集合当然不一样。

以上述无限大的长方形矩阵为例，虽然列标可以无限增加，但是行标也要随之增加，而且增加得快得多。因此，行标和列标这两个自然数集合永远不相同。

其实，无论如何解释，无穷公理存在无限多反例是不争的事实，而只要有反例，无穷公理就无法成立。

无穷公理一旦不成立，所有建筑在无穷公理基础上的理论就都不一定再成立。例如，既然自然数集合不是唯一的，不同的自然数集合之间就不一定能够建立一一对应。

证明实小数不可数的对角线证明也不再成立。

对角线证明并不复杂：
假定实小数可数，则可将其列为：

a₁:0.a₁₁a₁₂a₁₃...

a₂:0.a₂₁a₂₂a₂₃...
a₃:0.a₃₁a₃₂a₃₃..                        （1）
a₄:0.a₄₁a₄₂a₄₃..

.....

其中，a_ij的行标i表示实小数个数，列标j表示实小数位数。

对（1）内的任意a_i，都存在a_ii使得

b_ii≠a_ii，（i=1,2,3.....）                   （2）

成立，则

b=0.b₁₁b₂₂b₃₃....                         （3）

不等于(1)所列出的任何一个实小数，与可数假定下，(1)已列出每一个实小数矛盾，所以可数假定不成立，即实小数不可数。

以上证明粗看上去完美无缺，干净利落，且不乏机智，所以迷惑了世界上几乎所有的主流数学家达一个多世纪，至今少有主流数学家能够看出其中的问题。

然而，事情真的那么简单吗？

由于(2)中的a_ii是对角线元素，因此对于任意大的ⅰ，a_ii永远在ixi的方阵内，永远只能保证b不同于这个方阵内的任一个实小数，而无法保证b不同于正方形矩阵以外的其他实小数。也就是说，除非(1)本身就是一个无限大的方阵，否则就不能保证b不等于(1)所列出的任何一个实小数而形成矛盾，从而证明实小数不可数。

如何证明(1)是一个无限大的正方形矩阵？无穷公理倒可以证明，然而如前所述，无穷公理不成立。

事实上，以二进制小数为例，n位小数有m=2ⁿ个小数，用数学分折易证，n→∞时，Lim(m/n)=∞，即用行标表示的小数个数是用列标表示的小数位数的高阶无穷大。因此(1)是一个无限大且无限狭长的长方形矩阵。

需要强调的是，上述推导并不需要集合论的任何知识，甚至集合这个概念也不需要，只要根据可靠的数学分析即可得到。

有的人认为，在集合论中是不能从有限推出无限的。我不清楚这个规则是谁提出来的？又是怎么证明的？不管这个规则对不对，我在这里只用数学分析，根本就不用集合论，所以这条规则在这里无效。而在数学分析中，n→∞就是从有限推无限的。除非能推翻数学分析，否则就不能否认（1）是一个无限大的长方形矩阵这一事实。

在康托定理中，如果把自然数集合与二进制小数的位数一一对应，则其各幂集就可与二进制小数一一对应，因此，康托定理也证明了小数个数比小数位数多，即(1)是长方形矩阵。

同样需要强调的是，(1)即使是长方形矩形，行标这一自然数集合仍然与小数个数一一对应，即在长方形矩条件下，可数假定仍然成立，因此，无论是数学分析还是康托定理，都没有证明实小数不可数。

例如，在康托定理中，虽然证明了实小数个数与表示小数位数的自然数集合即(1)中的列标集不能一一对应，但仍然可以与表示实小数个数的自然数集即(1)中的行标集一一对应。

由于无法证明（1）为方阵，且事实上得到的是一个长方形矩阵，所以，对角线并没有证明实小数不可数。

其实,(1)反而提供了一种证明实小数可数的方法:既然实小数可以与用自然数表示的行标一一对应且并没有导致任何矛盾，当然就证明了实小数是可数的。

从逻辑上来说，既然假定可数,(1)就成立，本身就说明了只要(1)确实成立，没有矛盾，那么就证明了实数是可数的，这是一个非常简单的逻辑问题。

有的人认为实小数没法一一列出，其实，(1)就给出了一一列出实小数的具体方法。

在(1)中，实小数是随机出现的，所以任何一个实小数都可能出现，而且每个实小数都用自然数(行标)一一编号，说明实小数已与自然数一一对应了，当然是可数的。

   只要这种编号没有碰到矛盾，那么这其实就是证明了小数是可数的。

只是由于康托认为后来出现了矛盾(漏了b)，所以(1)又反过来变成了反证法要推翻的假定了。

但是我证明了实际上b并没有漏掉: b只是不出现在正方形矩阵中，并没有证明b不出现在长方形矩阵中。

由于(1)表示的长方形是无限狭长的，所以正方形在其中的占比趋于0，b只是不在极小的正方形中，怎么可以说是b不在(1)里面呢？

       主流数学家应该是误以为正方形既然可以无限扩大，就可以覆盖长方形？却不知随着正方形的扩大，长方形也是可以无限扩大的，且扩大得快得多，所以正方形在长方形里面占比趋向于0。

中国一个古典故事可以来比喻上泄现象:孙悟空一个筋斗翻得再远也跳不出如来佛的手心。

也有人认为(1)既然列好了，就不能再动了， 然后他用一个无限扩大的正方形把(1)全部复盖。这个思路也是错误的:(1)中行标数和列标数满足m=2ⁿ，n→∞时，m用更快的速度增加，怎么可能n增加而m不增加呢？也打一个比方，乌龟追兔子，对兔子说，你不许动，站在那儿，我来追你，那当然是追得上了，但是这个合理吗？只许州官放火，不许百姓点灯？

 一些进一步的讨论

在康托的集合论里，基数理论认为自然数集合具有最小的基数，然后在这个基础上再通过对角线方法等得到较大的基数。

由于无穷公理不再成立，因此自然数集合之间未必能建立一一对应关系，自然数集合并不具有唯一的基数，当然也谈不上存在最小的基数这一概念，实数也不再不可数，所以整个基数理论的基础完全崩塌，内在矛盾暴露无遗。

其实，从康托的原著不难看出，他的基数概念本来就是指元素数目，只是他误以为无限集合元素数目是无法研究的，才引入了一一对应的方法。然而，他又没有准确地掌握一一对应的方法（存在混用两种不同类型的一一对应的情形，另文叙述），从而才造成了各种混乱。

如本文所示，比较无限集合的元素数目的多少，完全不需要一一对应，直接用数学分折方法即可严格、精确地比较各种无穷的大小，即比较无限集合元素数目的多少。

例如，假定用两台机器生产相同的零件，第一秒机器甲生产的零件编号为1，乙生产的零件编号为1，2，第二秒机器甲生产的零件编号为1，2，乙为1，2，3，4，第三秒甲为1，2，3，乙为1，2，3，4，5，6……

设甲生产了n个零件，则乙生产了2n个零件，n→∞时，lim(2n/n)=2。

用数学分析无比简单地解决了这个问题。

若用自然数集合来表示零件的编号，由于集合的元素数目恰好就是生产的零件数，时间无限时，得到的两个自然数集合的元素比为2，也十分简单且精确。

不过，由于这两个自然数集合显然也不相同，因此也是无穷公理的一个反例。

这一极其简单的数学问题，用基数理论却完全无法描述！

如果用基数理论来指导火箭的设计，我猜想所有的火箭都不能升空。

公理化集合论原本是用来消除罗素悖论的，但笔者发现，只要集合的定义恰当，并不会出现罗素悖论，而且，公理也未必可靠，比如无穷公理就不成立，所以笔者建立了一个无公理、无任何悖论的集合论（https://vixra.org/abs/2210.0144）。。

为了消除各种错误和悖论，在新的集合论中，完全不再采用基数概念，而直接采用元素数目这一概念，也不再采用混乱的一一对应方法，而采用数学分析的方法来比较无限集合元素数目的多少。