图1 矩形截面弯管各个截面上的能量梯度函数K值的分布 （Dou et al 2014).

（一）牛顿流动：

弯曲的地方更容易发生湍流的原因，是因为弯曲的地方，横截面上产生了压力梯度(离心力等因素引起)，这样横截面上产生了更大的机械能梯度（机械能梯度=动能梯度+压力梯度+位能梯度），而且更不均匀 ，还容易诱导二次流动 (图1)。这样，弯曲流道横截面上机械能梯度分布更加复杂。因此，许多情况下，由于弯曲流道横截面上机械能梯度分布的畸变，弯曲的地方更容易发生湍流，这也是我们经常在弯管流动等装置中看到的情况。

在平直流动和大多数流动中，一般都用一个特征雷诺数来表征流动的状态，或判断层流或湍流。在等截面的弯管流动中，通常用一个无因次数，Dean number 来表征弯曲曲率的影响。一般来说，雷诺数越大，越容易产生湍流，过去100多年来，雷诺数是判定层流或湍流的准则。

根据窦华书的能量梯度理论，湍流的产生，除扰动外，唯一地取决于机械能的梯度，而不是其它因素。湍流的产生不取决于雷诺数，而是取决于机械能的梯度。雷诺数的影响以及其他因素的影响，最终都是通过影响了机械能梯度的变化而对湍流产生而起作用。流场中总的机械能梯度的方向与速度矢量的夹角的正切值，被定义为能量梯度函数，它是一个无因次的场变量，其数值大小与全局雷诺数成正比，对牛顿流动，其物理意义是一个当地雷诺数或局部雷诺数 (local Reynolds number)。

湍流的产生为什么不取决于雷诺数，因为雷诺数不能反映湍流产生的本质原因及物理机理。在实际应用中存在反例，一个突出的问题是，这些反例并没有引起这个领域的湍流专家注意，而把雷诺数当做至高无上的湍流产生的决定因素，这也是140年来湍流问题没有解决的主要原因之一。本文要介绍的两个反例，第一个反例是牛顿流动中的自由涡流动。第二个反例是雷诺数接近于零的非牛顿流动（粘弹流动）。第一个例子中，雷诺数非常非常高(比如Re>10^8)，也不会产生湍流。第二个例子中，雷诺数接近于零（Re<1）也能产生湍流。然而，如果采用窦华书的能量梯度理论，来分析湍流转捩，这两个反例就不存在了，并且就没有任何反例了。

在旋涡流动中，存在这样的情况，弯曲的地方不一定比平直的地方更容易产生湍流，要理解这个问题，必须从湍流是怎么产生的来考虑，这样大家就清楚了。因为湍流转捩或者湍流产生，不取决于雷诺数，而是机械能梯度。

第一个反例：一个旋转圆柱引起的外部流动，是弯曲流动，可是它无论速度多么大，无论雷诺数多么高，永远也不会产生湍流。这是因为这个旋转圆柱引起的速度场是一个自由涡流动，在垂直于流线方向上的机械能梯度为零，而且整个流场的机械能是一个常数。根据能量梯度理论，能量梯度函数值为零，流动是稳定的，任何扰动都会被吸收掉。因此，它不会引起任何失稳或引起湍流 （图2）。

图2 自由涡流动，是一个均匀的机械能场

然后，我们就容易理解龙卷风为什么如此稳定，因为龙卷风的涡核的外部是一个体积非常大的自由涡，流动是层流的，流动非常稳定，旋涡不容易被破坏，尽管雷诺数非常非常大（一般>10^8）。通过流动可视化可以容易看出，涡核内部是很强的湍流运动。虽然涡核内部是强湍流流场，可是它被外部强大的稳定的自由涡包围 (图3)。

图3  龙卷风（tornado， wikipedia）

一个更一般的问题，为什么对不同几何形状的流动，产生湍流的临界雷诺数不同？为什么不是一个统一的什么临界常数？有没有人考虑过这个事情? 从来没有。为什么我们烧水时，无论采用什么几何形状的容器，水达到沸腾的温度，都相同呢？都是100度呢？ 关于湍流产生或湍流转捩的临界条件，我们应该找到这样的一个度量，一个统一的标准或准则，这就是作者发现的 “奇点”的出现。采用作者提出的”奇点“准则，什么问题都可以解决了。例如，上面的自由涡流动高雷诺数也不能出现湍流，就是因为不能产生”奇点“。

（二）由此引出下面的类比：

对人的生命的死亡，所有的疾病，所有的交通事故，所有的因年龄原因引起的器官功能症状，所有的所有，都是最后通过影响了”心肺功能“，导致 ”心肺功能“失效，而宣布生命死亡。心肺功能一停止，生命就结束。所以医生检测病人是否还活着，是同时看”呼吸“和血液的”脉搏“。”心肺功能“失效就是医生判断生命死亡的唯一准则。

（这里一个有意思的事情是生命靠流体，"心"是泵血，是液体；"肺"是泵气，是气体。它们都是输送流体。所以生命科学研究离不开流体力学）。

对所有流体流动，雷诺数的影响以及所有的所有影响，都是最后通过影响了”机械能的梯度“，而影响发生湍流。当流场中的机械能梯度方向一旦与速度矢量正交（奇点出现），就发生湍流。这就是湍流转捩的统一标准，不管什么样的几何形状。如果以雷诺数作为准则，能够证明这个准则的例子很多，否则也不会让人们用了100多年，但是用雷诺数作为湍流转捩的准则就存在若干个反例 （本文只举出2例）。

（三）非牛顿流动：

上面第一段讲的是对牛顿流动说的。对于非牛顿流动来说（流变学研究范围），除了上述原因外，还有附加的弹性正应力的影响，它会改变压力梯度，而导致机械能梯度的改变。弯曲流道粘弹流动中，零雷诺数产生湍流的例子，给出了否定雷诺数准则的另一个反例。

第二个反例： 在弯曲流道的表面附近，流体的粘弹性导致弯曲的地方产生附加的压力梯度，从而更容易产生湍流。粘弹性流动，雷诺数很小，接近于零，可是弹性在弯曲的地方，产生正应力而导致垂直于表面的压力梯度，引起了机械能梯度的变化，导致”奇点“出现，而诱发湍流，称为粘弹湍流。这个结论，理论、实验、计算都是一致的 [1-10]。采用作者所提出的能量梯度理论及其”奇点“准则，成功地解决了零雷诺数产生湍流的问题。粘弹流动零雷诺数也能产生湍流，就是因为其机械能梯度能够产生”奇点“。 粘弹湍流具有牛顿湍流的全部特征，如速度涨落及阻力增长等等。自从2000年以色列科学家在Nature发表了那篇具有历史意义的文章以来，引起了粘弹性湍流的研究的热潮。

图4 非牛顿流体中弹性正应力产生的爬杆效应。

粘弹流动在弯曲管道里的流动，因为惯性力很小，离心力产生的压力梯度很小，但是，粘弹正应力产生的压力梯度却很大。当Deborah数增大时，这个压力梯度非常大。例如，在一容器内，当你快速搅动具有粘弹性的液体时，液体弯曲运动沿着径向产生的正应力差，将会驱动流体沿着搅动杆上升，这种现象称为爬杆效应（图4）。这是由于液体弹性引起的紧贴着杆子附近的流体的压力会升高，为了达到整个容器内的压力平衡，这部分液体就要上升。

需要指出的是，在非牛顿流体中，随着流体组分的变化，以及雷诺数和Deborah数的变化，流体弹性有时会引起湍流产生的延迟，有时会加速湍流的产生。因此，我们可以在牛顿流体中添加其他材料，改变其本构特性，对流动进行控制，如通过延迟湍流产生进行流动减租，或通过加速湍流产生进行强化热传导。

（四）交叉学科研究助力湍流：

作者正是由于从事流变学的研究，通过发现粘弹应力在曲面上产生的压力梯度，导致流场中出现奇点，发现了湍流产生的物理机理，建立了湍流产生的理论：能量梯度理论 [1-4]。

作者1996年，在澳大利亚悉尼大学从事非牛顿流动研究（粘弹流动和纤维悬浮液），遇到了不稳定流动的问题。恰恰在解决问题的关键时刻，读到了以色列科学家1998年的粘弹流动失稳的论文；2000年，第一时间读到了他们Nature2000 的弹性湍流实验研究的论文（Re=0），立刻激发了作者提出了”不可压缩流体中所有的湍流都是机械能梯度所引起“ 的创新思想，并通过Navier-Stokes方程推导出了能量梯度函数的精确表达式。为此，作者把此理论命名为 能量梯度理论 [2]。

如果不是以色列科学家Nature2000那篇论文，发现雷诺数为零的流动也能产生湍流的启发（从此产生了对雷诺数的怀疑），作者有可能，至今也没有能够建立起能量梯度理论，湍流产生的秘密直到今天也揭示不了。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7 (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049

3. 为什么人体主动脉血管里血液流动会由层流变为湍流？ https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1356764.html

4. 窦华书：我是怎样创立能量梯度理论的？ https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA

5.科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案，窦华书的博文。

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1361491.html 或者 https://mp.weixin.qq.com/s/xW20mnE7jpDLL68PcKDSsg

6.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

7.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html 或者  https://mp.weixin.qq.com/s/1nh4SLMaLHC511d8uDeI8Q

8.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm 或者 https://mp.weixin.qq.com/s/QfC9d4Cn5ujzUMltyhvQyg 

9. 湍流是怎样产生的? 最新研究进展！https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1341235.html

10.千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明,

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1337452.html