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热搜: 科学 论文
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[每天一题]2013-12-13
张祖锦 2014-1-20 08:59
2013-12-13: 设 $f(x),g(x)$ 是 $ $ 上的连续函数, 且 $\displaystyle{\max_{x\in }f(x)=\max_{x\in }g(x)}$. 证明: 存在 $x_0\in $, 使得 \ 证明: 设 \ }f(x)=\max_{x\in }g(x)=g(x_2). \] 1. 若 $x_1=x_2$, 则取 $x_0=x_1=x_2$ 即有结论. 2. 若 $x_1\neq x_2$, 不妨设 $x_1x_2$ ...
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[每天一题]2013-12-12
张祖锦 2014-1-20 08:37
2013-12-12 : 由偏差定理推出 Koebe $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ 掩蔽定理. 证明: 设 $\displaystyle{g(r)=\frac{r}{(1+r)^2}}$, 则 \ 于是 \ 由偏差定理, \ \ \newpage\section{2013-12-12: 由偏差定理推出 Koebe$\displaystyle{\frac{1}{4}}$ 掩蔽定理 . (href ...
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[每天一题]2013-12-11
张祖锦 2014-1-19 19:29
2013-12-11: 设 $f: \to $ 是 $C^2$ 函数, $f(0)=f(1)=0$, 且 $f''(x)0$, $\forall\ x\in $. 记曲线 $\left\{(x,f(x));\ x\in \right\}$ 的长度为 $L$. 证明: $L3$. 证明: 由 Rolle 定理, \ 又由 $f''0$ 知 于是begin{equation*} begin{aligned} L=int_0^1 ...
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[每天一题]2013-12-10: (Landau 定理)
张祖锦 2014-1-16 20:51
2013-12-10: (Landau 定理) 设 $f:D(0,1)\to\mathbb{C}$ 是 $D(0,1)$ 内的解析函数, 不取 $0$, $1$, 则存在一个常数 $C0$, 使得 $|f'(0)|\leq 2|f(0)| .$
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[每天一题]2013-12-09
张祖锦 2014-1-9 21:36
2013-12-11: 设函数 $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$$ 子单位圆 $|z|1$ 内全纯, 且 $|f(z)|\leq M$, 证明: $$M|a_1|\leq M^2-|a_0|^2.$$ 真是,复分析貌似没了Schwarz引理,天就暗了。
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[每天一题]2013-12-08
张祖锦 2014-1-9 21:33
2013-12-08: (Carath'eodory 不等式) 利用 Scharwz 引理及线性变换, 证明: 若函数 $f(z)$ 在圆 $|z|R$ 内全纯, 在 $|z|\leq R$ 上连续, $M(r)$ 及 $A(r)$ 分别为 $|f(z)|$ 及 $\Re f(z)$ 在圆周 $|z|=r$ 上的最大值, 则当 $0rR$ 时, 有 $$M(r)\leq \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|.$$ &n ...
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[每天一题]2013-12-07
张祖锦 2014-1-5 21:58
2013-12-07: (Poisson-Jensen 公式) 设 $f(z)$ 是圆 $|z|\leq R\ (0R\infty)$ 上不横为零的亚纯函数, $a_1,a_2,\cdots,a_s$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_t$ 分别是它在圆 $|z|R$ 内的领带年和极点, 若 $a$ 是一个 $n$ 级零点, 则 $a$ 在 $a_1,\cdots,a_s$ 中出现 $n$ 次, 对极点做同样的规定. 对圆 $|z|R$ ...
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[每天一题]2013-12-06
张祖锦 2014-1-5 21:56
2013-12-06: (Blaschke 乘积) 设复数序列 $\{a_k\}\ (k=1,2,\cdots)$ 满足 $$0|a_k|1,\quad \sum_{k=1}^\infty (1-|a_k|)\infty.$$ 证明无穷乘积 $$f(z)=\prod_{k=1}^\infty\left(\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz}\cdot \frac{|a_k|}{a_k}\right)$$ 在圆 $|z|\leq r\ (0r1)$ 上一致收敛, 因 ...
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[每天一题]2013-12-05
张祖锦 2014-1-5 21:53
2013-12-05: $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(a+n)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi a}$$ ($a$ 不是整数); $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+a^2}=\frac{\pi}{2a\sinh(\pi a)}+\frac{1}{2a^2}$$ ($a$ 是不为零的实数).
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[每天一题]2013-12-04
张祖锦 2014-1-4 22:02
若 $\alpha\neq 0$, $\beta/\alpha\neq \pm 1,\pm2, \cdots$, 则 $$\frac{\pi}{\alpha}\cot\frac{\pi \beta}{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n\alpha+\beta}-\frac{1}{n\alpha+\alpha-\beta}\right),$$ 并由此证明 $$frac{1}{1cdot 2}+frac{1}{4cdot 5}+frac{1}{7cdot 8}+cdots+ ...
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