2013-12-13: 设 $f(x),g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $\displaystyle{\max_{x\in [0,1]}f(x)=\max_{x\in [0,1]}g(x)}$. 证明: 存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 \[ e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0).\]

证明:  设 \[ f(x_1)=\max_{x\in [0,1]}f(x)=\max_{x\in [0,1]}g(x)=g(x_2). \]  

1. 若 $x_1=x_2$, 则取 $x_0=x_1=x_2$ 即有结论.

2. 若 $x_1\neq x_2$, 不妨设 $x_1<x_2$, 则 [ h(x)equiv f(x)-g(x)Rightarrow h(x_1)geq 0geq h(x_2). ] 由连续函数的介值定理, [ exists x_0in [x_1,x_2],mathrm{ s.t. } h(x_0)=0Rightarrow f(x_0)=g(x_0), ] 而也有结论成立. en