[每天一题专为数学专业的考研学子开设, 有时间与精力会接收一些同学问的题目, 而发布在这里. 我的邮箱: zhangzujin361@163.com. 不过并不能保证一定能即使解答, 能准确解答, 能解答; 能做的只是尽力解答 (一般是证明题, 除非是技巧不错的计算题).与此配套的有家里蹲大学数学杂志与其特刊:

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=287000&do=blog&id=751660

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=287000&do=blog&id=751661

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若 $\alpha\neq 0$, $\beta/\alpha\neq \pm 1,\pm2, \cdots$, 则

$$\frac{\pi}{\alpha}\cot\frac{\pi \beta}{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n\alpha+\beta}-\frac{1}{n\alpha+\alpha-\beta}\right),$$

并由此证明 $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{7\cdot 8}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n-1)}+\cdots=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.$$