中国公认最早的运河是灵渠。

据百度百科：灵渠，古称秦凿渠、零渠、陡河、兴安运河、湘桂运河，是古代汉族劳动人民创造的一项伟大工程。位于广西壮族自治区兴安县境内，于公元前214年凿成通航。灵渠流向由东向西，将兴安县东面的海洋河（湘江源头，流向由南向北）和兴安县西面的大溶江（漓江源头，流向由北向南）相连，是世界上最古老的运河之一，有着“世界古代水利建筑明珠”的美誉。

灵渠的开凿首先是因为军事的需要。公元前221年，秦国消灭了东方六国后，雄才大略的秦始皇把统一的目光放到了南边的百越之地。公元前219年秦始皇命令屠睢率领五十万大军南下攻击百越。5路大军除了东路出兵当年就平定了东瓯和闽越地区，设置了闽中郡，其余4路由于山高路险、河道纵横，行军作战及军粮运输极为困难，加之百越各部的顽强抵抗，相持3年未能取胜。后来秦在今广西兴安县北凿成灵渠，解决了军粮运输问题，秦军才得以顺利进军。秦军第三路军由主帅尉屠睢亲自率领，从今长沙宜章南下。秦始皇三十三年（公元前214年），尉屠睢军进至今乐昌曲江一带，遭到越人夜袭，尉屠睢战死。以后秦始皇又增派大批援军，经过苦战，终于征服了南越和西瓯，秦在这里设置了南海、桂林、象郡3郡。从此，东至海南，北至向户，皆归于秦朝版图。

世界上最早的运河，根据维基百科，是古苏伊士运河。

相传，最早提出开挖运河的是十二王朝法老（国王）伊姆纳哈塔一世，而最先凿通运河的是第十二王朝的法老苏努塞尔特三世，他于公元前1887年首次开凿运河成功，后人称之为法老运河，或西佐特里斯运河。古代，红海与苦湖相通，通称卡姆奥里特湖，而尼罗河下游最东的比鲁齐支流与卡姆奥里特湖相距很近，运河的设计者就利用这种自然条件，选择沿河的城镇布佩斯特（今扎加济格附近）为起点，往东经塔哈（今艾布.苏维尔附近），直达卡姆奥里特湖北端，寻湖南下克利斯马（今苏伊士港），建成了这条运河，全长约150公里，河宽25米以上，深约3--4米，能通航当时盛行的多桨帆船。希腊马其顿国王亚历山大大帝占领埃及后，建立了拖勒密王朝。公元前285年拖勒密二世疏浚苦湖与红海之间的水道，运河再次全线通航，历史上称之为希腊运河。但到王朝末期，公元前45年，运河又淤浅废弃。罗马帝国取代托勒密王朝后，罗马帝国特拉加于公元98年开凿一条以他的名字命名的自开罗到阿巴塞（今扎加济格以东）的支航道，联上运河，称为罗马运河。公元400年，拜占庭统治时期，运河又一次淤塞。阿拉伯人进入埃及后，远征大将欧麦尔.本.阿绥恢绥当时曾想由苦湖往北，经微微起伏的平原，开辟一条直达地中海的运河，他可能是历史上第一个提出开凿直线运河的人。但是，他的主张遭到哈里发欧麦尔.本.赫太伯的反对而未能实现，因为他认为红海位高，运河将淹没三角洲。公元767年（另一说776年），哈里发阿巴斯.艾布.加法尔.曼苏尔为阻止麦加和麦地那的叛教者利用运河运输粮草和物资反对他的统治，下令在苏伊士城附近填死运河。从此，红海与地中海水上通道就中断了。（http://www.ahhao.com/wz/kpdl/2008-01-16/377.html） 

应该可以推断，在修建如此大规模的运河之前，人类早已熟练掌握了运河修造技术，肯定已经有过很多次修建运河的实践，只不过没有记载和遗存而已。因此，灵渠和古苏伊士运河不过分别是中国和世界有记载、有实物留存的最早的运河。