【现代泛系量子积分】-对【黎曼积分】的扬弃

美国归侨冯向军博士

2018/9/4

（一）黎曼积分

黎曼积分得名于德国数学家波恩哈德·黎曼，建立在函数在区间取样分割后的黎曼和之上。设有闭区间[a,b]，那么[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列  。每个闭区间  

叫做一个子区间。定义  为这些子区间长度的最大值：  ，其中  。而闭区间[a,b]上的一个取样分割是指在进行分割 后，于每一个子区间中

  取出一点  。对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割

  的黎曼和定义为以下和式：

和式中的每一项是子区间长度  与在  处的函数值  的乘

积。不同的取样分割方式得到的黎曼和一般都不相同，而如果当  足够小的时候，所有的黎曼和都趋于某个极限，那么这个极限就叫做函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分。即，S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的  

，都存在  ，使得对于任意的取样分割  ，只要它的子区间长度最大值  

，就有：

也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。将f在闭区间[a,b]上的黎曼积分记作：

（二）【现代泛系量子积分的定义】-对黎曼积分定义的扬弃

假设黎曼和

的最终形式是

F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)

当令（xi+1-xi）全部坍缩成零时，就称

 F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)  | （xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

为【现代泛系量子积分】。

【现代泛系量子积分】继承了【黎曼和】而抛弃了【黎曼积分定义】中基于【柯西水货无限逼近】的【柯西水货极限】，因此确实是对【黎曼积分】的扬弃。

【举例】

函数f(x)=x在[0，1]上的【黎曼和】为

【黎曼和】=

=(1/n)²n(n+1)/2 =(1+1/n)/2=（1+Δx）/ 2，这其中自变量增量Δx=1/n=（xi+1-xi），i=0，...n-1。

【黎曼和】的最终形式=（1+Δx）/ 2。

所以，【现代泛系量子积分】 = （1+Δx）/ 2｜Δx=0 = 1/2。