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【现代泛系量子积分】-对【黎曼积分】的扬弃
美国归侨冯向军博士
2018/9/4
黎曼积分得名于德国数学家波恩哈德·黎曼,建立在函数在区间取样分割后的黎曼和之上。设有闭区间[a,b],那么[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 。每个闭区间
叫做一个子区间。定义 为这些子区间长度的最大值: ,其中 。而闭区间[a,b]上的一个取样分割是指在进行分割 后,于每一个子区间中
取出一点 。对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f,f关于取样分割
的黎曼和定义为以下和式:
和式中的每一项是子区间长度 与在 处的函数值 的乘
积。不同的取样分割方式得到的黎曼和一般都不相同,而如果当 足够小的时候,所有的黎曼和都趋于某个极限,那么这个极限就叫做函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分。即,S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分,当且仅当对于任意的
,都存在 ,使得对于任意的取样分割 ,只要它的子区间长度最大值
,就有:
也就是说,对于一个函数f,如果在闭区间[a,b]上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S,那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。将f在闭区间[a,b]上的黎曼积分记作:
的最终形式是
F(t0,(x1-x0),t1,(x2-x1),...,tn,(xn-xn-1))
当令(xi+1-xi)全部坍缩成零时,就称
F(t0,(x1-x0),t1,(x2-x1),...,tn,(xn-xn-1)) | (xi+1-xi)= 0,i=0,...n-1
为【现代泛系量子积分】。
【现代泛系量子积分】继承了【黎曼和】而抛弃了【黎曼积分定义】中基于【柯西水货无限逼近】的【柯西水货极限】,因此确实是对【黎曼积分】的扬弃。
【举例】
函数f(x)=x在[0,1]上的【黎曼和】为
【黎曼和】=
=(1/n)2n(n+1)/2 =(1+1/n)/2=(1+Δx)/ 2,这其中自变量增量Δx=1/n=(xi+1-xi),i=0,...n-1。
【黎曼和】的最终形式=(1+Δx)/ 2。
所以,【现代泛系量子积分】 = (1+Δx)/ 2|Δx=0 = 1/2。
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GMT+8, 2024-5-18 13:12
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