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读《光学原理》

已有 10031 次阅读 2013-7-25 09:32 |个人分类:读书|系统分类:教学心得| 光学原理

      本科光学课,老师就推荐过波恩和沃尔夫的《光学原理》。不过在当时,市面上没得卖,只能从图书馆借,有时候能借到,有时候借不到,于是也没怎么看。后来宿舍有同学做激光物理的课题,参考书还是这一本。最近看星际介质的文章,关于电磁波在星际介质中的传播,引的文献还是这本书,所以最终决定认真地把这本书读一读,记些笔记。

1. 反常色散和“超光速实验”
      本科时,正好是上光学课那个学期,出现了一个让大家非常吃惊的实验——著名的超光速实验。在这个实验中,王利军将一个光脉冲射入一个碱金属蒸汽室,他发现脉冲还未完全进入蒸气室,另一边的探测器已经探测到了光脉冲。最终测得的“光速”是真空光速的300倍。当时我们都很困惑,觉得相对论受到了挑战。而我至今还清晰地记得,光学老师淡定地说:“这只不过是波包在反常色散介质中变形而已。”
      最近,我在《光学原理》上看到了类似的论述(1978年12月第一版41页):“如果媒质没有强烈的色散,一个波群将能传播相当长一段距离而不发生显著的‘扩散’。在这种情况下,可以认为群速是波群作为一个整体传播的速度,它也将代表能量传播的速度。然而,一般来说这是不正确的。特别是,在反常色散区域,群速可超过光速或变成负的,在这种情况下它就不再具有任何明显的物理意义了。”

2. 布儒斯特角
      到现在为止,布儒斯特角仍然让我觉得十分惊奇。《光学原理》中的论述(66页到67页)如下:

“$\tan\theta_i=n$     (39)
(39)式所决定的$\theta_i$角,叫做偏振角或布儒斯特角;它的意义是首先由布儒斯特在1815年注意到的,这就是:如果光在这个角度下入射,则反射光的电矢量没有入射面上的分量。通常说光这时是在“入射面上”偏振的。按照这一传统名词,偏振面就是磁矢量和传播方向所构成的平面了。然而,由于$\S$1.4.2中已经解释过的原因,还是以不用这个名词为好。
      上述结果常常叫做布儒斯特定律,它也可以从下面更直接的论证来加以说明:入射场使第二媒质中原子的电子发生振动。这些振动沿着透射波电矢量的方向。振动的电子产生另一个波,即反射波,这个波将传回第一媒质中。但是作为一个作直线振动的电子,它的辐射是横向的,在电子振动方向上辐射能通量为零,结果当反射光线和透射光线相互垂直时,反射光线中入射面上的振动就接收不到一点能量。

3. 菲涅尔菱体
      菲涅尔菱体可以将线偏振光变为圆偏振光,很有趣(75页到76页)。反射波和入射波平行垂直分量相位变化和平行分量相位变化之差$\delta=\delta_{\perp}-\delta_{\parallel}$的表达式
$\tan\frac{\delta}{2}=\frac{\cos\theta_i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}{\sin^2\theta_i}$

菲涅尔当时利用了两次玻璃上的全反射。按照(62)和(63)两式,当$n_{21}=1.51$时,最大相对相差$\delta_m=45^\circ 56'$,这时入射角$\theta_i$应该等于$51^\circ 21'$。因此,用下列而入射角中的任何一个,都正好能得到$\delta=45^\circ$:

$\theta_i=48^\circ 37', \ \theta_i=54^\circ 37'$
所以,如在其中某一角度下接连全反射两次,则可获得$90^\circ$的位相差。图1.16所示的玻璃块即用于此,称为菲涅尔菱体。


4. 分层介质与传输线
      光是电磁波,所以光学问题和电学问题有相似之处并不奇怪,只是平时不怎么能碰到。分层介质和传输线就是一个例子。关于光在分层介质中传播的方程和传输线方程,《光学原理》有这样的论述(80页):

把(13c)式的W代入(13a)式,和(13b)式组成一对U和V的一阶联立微分方程$^{1)}$:
$U'=ik_0 \mu V$,
$V'=ik_0 \left(\epsilon-\frac{\alpha^2}{\mu}\right)U$


1)方程(14)和下列电传送方程形式相同:
$\frac{dV}{dz}=-ZI,\ \frac{dI}{dz}=-YV$
式中V是传送线跨压,I是线中电流,Z是串联阻抗,Y是分路导纳。因此,分层媒质理论可完全类比电传送线理论来加以发展。

5. 赫兹矢量
      如果说本科物理课给我留下了什么心理阴影的话,那只有电动力学中用推迟势推导电场和磁场的那个段落。我只在学习电动力学那个学期推导过一次,之后再也没有碰过。最近看到《光学原理》中的推导,我都怀疑这个心理阴影是不是我反应过度了。
     《光学原理》是通过赫兹矢量推导的(113页到118页),这是我之前不知道的内容。

      我们可以不用矢势$\bf A$和标势$\phi$,而借助另一对同$\bf P$和$\bf M$关系要简单得多的势函数$\Pi_e$和$\Pi_m$来表示场。它们通常称为赫兹矢量或极化势,可由下列关系引进之:
${\bf A}=\frac{1}{c}\dot{\Pi}_e+\nabla\times\Pi_m$,
$\phi=-\nabla\Pi_e$.
可见,$\Pi_e$、$\Pi_m$和${\bf A}$、$\phi$的数学关系,与${\bf P}$、${\bf M}$和${\bf \tilde{j}}/c$、$\tilde{\rho}$的数学关系相同。
      洛伦兹条件现在自动就满足了,而${\bf A}$和$\phi$的方程(12)和(13)也将得到满足,只要$\Pi_e$和$\Pi_m$是下列非齐次波动方程的解:

$\nabla^2\Pi_e-\frac{1}{c^2}\ddot{\Pi}_e=-4\pi{\bf P}$.
$\nabla^2\Pi_m-\frac{1}{c^2}\ddot{\Pi}_m=-4\pi{\bf M}$

按照$\S$2.1,这二个方程的特别解可表成推迟势形式如下:
$\Pi_e=\int\frac{[{\bf P}]}{R}dV'$,
$\Pi_m=\int\frac{[{\bf M}]}{R}dV'$.

       赫兹矢量的对称性很好,计算线性电偶极子场的时候比较简单。一个偶极子可以用电极化强度

${\bf P}({\bf r},t)=p(t)\delta({\bf r}-{\bf r}_0){\bf n}$
表征。使用推迟势形式的特解可以得到
$\Pi_e=\frac{p(t-R/c)}{R} {\bf n}$,
式中$R$是${\bf r}_0$和${\bf r}$的距离。
      电场和磁场可以计算为
${\bf E}={\bf D}=\nabla\times\nabla\times\Pi_e$,
${\bf B}={\bf H}=\frac{1}{c}\nabla\times\dot{\Pi}_e$.
利用
$\nabla\times\nabla\times=\nabla\nabla\cdot-\nabla\cdot\nabla$,
$\nabla\cdot\nabla\Pi_e=\frac{1}{c^2}\ddot{\Pi}_e$,
注意到
$\nabla\cdot\Pi_e=-\left\{\frac{[p]}{R^3}+\frac{[\dot{p}]}{cR^2}\right\}({\bf n}\cdot{\bf R})$,
$\nabla\nabla\cdot\Pi_e=\left\{\frac{3[p]}{R^5}+\frac{3[\dot{p}]}{cR^4}+\frac{[\ddot{p}]}{c^2R^3}\right\}({\bf n}\cdot{\bf R}){\bf R}-\left\{\frac{[p]}{R^3}+\frac{[\dot{p}]}{cR^2}\right\}{\bf n}$,
$\nabla\times\Pi_e=\left\{\frac{[p]}{R^3}+\frac{[\dot{p}]}{cR^2}\right\}({\bf n}\times{\bf R})$
可以计算电磁和磁场。




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