限位数用于运算器设计原理知多少

姜咏江

用限位数理论和方法来设计计算机的运算器，就可以让计算机进行丝毫不差的算术运算，即使CPU只有8位的运算器，也不会让超大数值的计算产生丝毫的误差。这对货币发行与计数的银行业来说，其重要性可想而知，更不要说那些利用机器进行精确计算的行业了。本人发现限位数对SAT问题的快速求解也奠定了基础。

1.               什么是限位数？

所谓的限位数，就是限定记数位数，用数码排列得到的数。所谓N进制数是用从0开始的N个数码按照“逢N进一”的规则书写的数。本文仅就基数N是偶数的限位数进行相关讨论，文中使用的N与k一律是正整数。

我们知道N进制的数码共有N个，它们是0、1、…、@（@=N-1）。如果N进制数有k个位置，每个位置可以放N个数码，依据乘法原理，共有N^k个k位数。在限位数理论中称k位N进制数的个数N^k为限数。因为限数限制了限位数的总数。

设N进制的数码是0、1、…、@（@=N-1）,那么显然k位N进制最大数是由最大数码组成的数。例如，5位十进制的最大数码@=9，最大数是99999。而3位十六进制的最大数码是F，那么最大数是FFF。

在限位数理论中，如果两个数码的和是最大数码，一个叫另一个的反码；将一个限位数的数码都用其反码替换，得到的数叫原数的反码数。

例如，十进制的反码有5对：（0,9）(1,8)(2,7) (3,6) (4,5)。二进制的反码只有一对：（0，1）。

2.               限位数的特性

为了表明限位数的位数，限位数的每个位置都必须书写数码。根据我们已有的知识，很容易理解限位数的如下特性：

（1）限数比最大限位数大1。

（2）反码数唯一，且和为最大数。

（3）限位数加法运算最高进位自动丢失。

（4）限位数都是非负整数。

3.               用限位数表示实数

我们一般知道的实数要用正负号和小数点来辅助表示。用机器来进行算术运算，加入正负号和小数点是愚昧的行为。那么用限位数如何表示实数？我们以大家熟悉的十进制来加以说明。

（1）对称制

例如，3位的十进制数有000～999这1000个。如果我们仍然用000表示0，那么可以按着大小从500处等分剩余的那些数，即分为001～499和501～999这两个数量相等的部分。我们还会发现[1,499]和[501,999]这两部分在数轴上是关于500一一对称的。而[-499,499]又是关于000一一对称的。这样我们就可以让-499～-1用501～999来一一对应代替，如此就可以免去正负号！不仅如此，我们还可以很容易地根据写出的限位数是否比500大来判断所表示的数是正数还是负数。例如，845是-155，因为155和845关于500对称，而无符号数845大于500，所以845表示的是它的对称数155的相反数-155。

我们总不能到数轴上去找对称点吧？研究发现[1,499]和[501,999]的对称数之间的和都为限位数的总数1000。这一点让我们能够非常容易地确定一个大于500的数所表示的负数是多少。直观会想到用1000-845，再添上负号就可以了。如此，我们就可以用无符号的限位数来表示一定范围内的正负数。由于500的对称数是500，为了避免二义性，就规定它表示的是-500这个数。这样一来，000～999就可以用来表示-500～499之间的整数。限位数的这种用一定位数的无符号整数表示有符号数的规定，就称为对称制。

一般化，对称制可以如下描述。

将用数码表示的限位数按两数和是限数分成两部分对称，用较大部分数来表示其对称数的相反数，这种表示正负数的方法叫对称制。

你也许会问：“小数如何表示？”

这个问题的解决十分简单，就是只要我们隐含地认定小数点在限位数的第几位之前就可以了，不必用什么符号来记录。

4.               对称制的性质

对称制表数有如下的一些性质。

（1）0没有对称数。

（2）限数是限位数的上界，不属于限位数。

（3）最大限位数比限数值小1.

（4）一个限位数的对称数可以用其反码数加1得出。

（5）减去一个限位数可以用其对称数做加法得出结果。

（6）对称制表示的实数可以保值扩充位数，正数左面添0，负数左面添最大数码。

不同位数的限位数在对称制下计算，要进行位数扩充，这是是精确计算的保证。当前限位数的表值范围不够用时，扩大位数是基本的方法。例如3位的十进制数只能够表示-500～499的整数，如果要用对称制表示-2567这个数，那么就要扩充到4位，用7433表示。如果还要与-18进行加法运算，那么要将-18先表示成2位数的限位数82，然后扩充成9982才行。这样7433+9982的限位数和是7415。而7415表示的值是-2585，正是-2567+(-18)的和。

5.               加减法运算溢出

限位数运算什么时候需要扩充位数？简单地说是在加减法运算溢出的时侯。在对称制下判断溢出很简单。判断如下：

（1）同号两数相减和异号两数相加，不会溢出。

（2）同号两数相加和异号两数相减，若运算的结果与第一个数符号相同，则不溢出，否则溢出。限位数运算的用“<=>”连接，只有数值相等才用“=”号连接。

例如，587+842<=>429，因为587、842都是负数，429是正数，与第一个数587符号不同，因而是溢出的情况。因为两个负数相加的结果不能是正数。这时需要将587保值扩充成9587，将842扩充成9842。于是9587+9842<=>9429。

验算：587= -413，842= -158，-413+(-158)= -571.

        9429= -0571= -571.

6.               机器使用的是二进制

上面我们用大家熟悉的十进制表示数来介绍限位数，在计算机一类的机器计算当中，数是用二进制表示的。因为二进制只有数码0和1，对称制的对称点是100...0这样的限位数，碰巧比它大的限位数最高位都是1，而比它小的限位数最高位都是0，所以才造成那些不求甚解的人，误认为计算机使用的数有符号位，并且认为最高位的1代表负号，0代表正号。甚至还高出了“正零”和“负零”的说辞。连初中生都知道“零没有正负”，计算机界的国内外专家们居然弄出了正负零，岂不叫人嘘唏。

实际上，在计算机内出现10000000，如果认为是有符号数，那就是-128，绝不是什么“负零”。当然，如果认为是无符号数，那么就是128。请注意，8位二进制数值的范围是-128～127，如果是有符号数，8位的运算器表达不出128的。真正能表出128要至少要用9位，即010000000才是。

把计算机内部使用的二进制数最高位理解成“符号位”的人，是不会设计出好的算术运算器的一类人，不管国内还是国外。他们不能解释在计算机内为什么正负数不对称。最糟糕的是，如果运算出现了类似10000...0这样的边界值，他们常会感到莫名其妙。为了表数范围够用，而设计超长位数的运算器是一种愚蠢的做法。

（待续）

2016-3-28