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首先给出上篇博文中两道初二数学题的解答:
1的解答:由b+c=8知c=8-b,带入 $bc=a^2-12a+52$ 并移项得
$a^2-12a+52+b^2-8b=0$ ,配方得 $(a-6)^2+(b-4)^2=0$ 。由于 $(a-6)^2$ 与 $(b-4)^2$ 都是非负数,故 $(a-6)^2=(b-4)^2=0$ ,所以a=6,b=4。将b=4代入c=8-b得c=4,可见这是个等腰三角形。
2的解答:由 $y^2+5y+1=0$ 知y不等于0,两边同除以y得y+5+1/y=0,即y+1/y=-5,两边平方得 $y^2+1/y^2+2=25$ ,所以 $y^2+1/y^2=23$ ,两边再次平方得 $y^4+1/y^4+2=23^2=529$ ,从而 $y^4+1/y^4=527$ 。
将分式 $\frac{y^4}{y^8+3y^4+1}$ 的分子与分母同除以 $y^4$ 得 $\frac{y^4}{y^8+3y^4+1}$ =1/530。
个人觉得,第一道题还是颇有些“艺术”性的,如果不是放在初二数学的整式部分,一般人很容易落入用三角函数(如余弦公式之类)解三角形的俗套,或者如刘洋小友那样采用极值方法求解。奇妙之处就在于只能用初中生学过的方法求解。当然,初二已经学过不等式,利用不等式也可以解这道题。
这道题并不算难,既不需要课本外的知识,也不需要很特殊的技巧,关键看学生的观察力如何。它将代数与几何相结合,算得上一道比较好的题目。
第二道题的方法比较特别,学生如果见识过y+1/y之类的技巧,问题将迎刃而解,否则,很容易落入由低次到高次逐步迭代的套路,不仅计算繁杂,还可能算不出来。假如将4次方换成8次方,8次方换成16次方,你又如何迭代?可见不能按常理循规蹈矩地寻找解题途径。这类题的形式很固定,可变性不大,最高次项与次高次项的指数必须是两倍的关系,常数项与最高次项的系数必须相同或互为相反数。解题思路是固定的,或者说,有一套现成的路数,知道方法者很容易做,没见识过则一筹莫展。可见从命题水平上看,第二道题远低于第一道题。从难度上看,两道题不相伯仲。从考试结果上看,没接受过专门培训的学生或许可以解出第一道题,但很可能解不出第二道题。为什么参加数学竞赛者通常必须参加数学培训?也许答案就在其中。
数学教育与数学竞赛之间的差别或许可以从这两道题中窥探出一二。
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GMT+8, 2024-12-30 00:08
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