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从两道初二数学题看数学教育 精选

已有 18566 次阅读 2013-12-25 11:37 |个人分类:教育点滴|系统分类:教学心得

首先给出上篇博文中两道初二数学题的解答:

1的解答:由b+c=8c=8-b,带入 $bc=a^2-12a+52$ 并移项得

$a^2-12a+52+b^2-8b=0$ ,配方得 $(a-6)^2+(b-4)^2=0$ 。由于 $(a-6)^2$ $(b-4)^2$ 都是非负数,故 $(a-6)^2=(b-4)^2=0$ ,所以a=6b=4。将b=4代入c=8-bc=4,可见这是个等腰三角形。

2的解答:由 $y^2+5y+1=0$ y不等于0,两边同除以yy+5+1/y=0,即y+1/y=-5,两边平方得 $y^2+1/y^2+2=25$ ,所以 $y^2+1/y^2=23$ ,两边再次平方得 $y^4+1/y^4+2=23^2=529$ ,从而 $y^4+1/y^4=527$

将分式 $\frac{y^4}{y^8+3y^4+1}$ 的分子与分母同除以 $y^4$ $\frac{y^4}{y^8+3y^4+1}$ =1/530

个人觉得,第一道题还是颇有些“艺术”性的,如果不是放在初二数学的整式部分,一般人很容易落入用三角函数(如余弦公式之类)解三角形的俗套,或者如刘洋小友那样采用极值方法求解。奇妙之处就在于只能用初中生学过的方法求解。当然,初二已经学过不等式,利用不等式也可以解这道题。

这道题并不算难,既不需要课本外的知识,也不需要很特殊的技巧,关键看学生的观察力如何。它将代数与几何相结合,算得上一道比较好的题目。

第二道题的方法比较特别,学生如果见识过y+1/y之类的技巧,问题将迎刃而解,否则,很容易落入由低次到高次逐步迭代的套路,不仅计算繁杂,还可能算不出来。假如将4次方换成8次方,8次方换成16次方,你又如何迭代?可见不能按常理循规蹈矩地寻找解题途径。这类题的形式很固定,可变性不大,最高次项与次高次项的指数必须是两倍的关系,常数项与最高次项的系数必须相同或互为相反数。解题思路是固定的,或者说,有一套现成的路数,知道方法者很容易做,没见识过则一筹莫展。可见从命题水平上看,第二道题远低于第一道题。从难度上看,两道题不相伯仲。从考试结果上看,没接受过专门培训的学生或许可以解出第一道题,但很可能解不出第二道题。为什么参加数学竞赛者通常必须参加数学培训?也许答案就在其中。

数学教育与数学竞赛之间的差别或许可以从这两道题中窥探出一二。

 



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IP: 218.20.41.*   | 赞 +1 [72]徐晓   2014-1-2 21:27
帅哥,新年快乐
IP: 14.29.115.*   | 赞 +1 [71]心静如水   2014-1-2 20:51
曹老,元旦快乐!
IP: 218.23.159.*   | 赞 +1 [70]xiaxiaoxue86   2014-1-1 17:58
新年快乐!   

期待您上歌
IP: 113.246.119.*   | 赞 +1 [69]王锟   2014-1-1 10:34
祝老师新年快乐!万事如意!
IP: 60.28.98.*   | 赞 +1 [68]fishman936   2013-12-31 15:40
老师新年愉快!
IP: 174.88.135.*   | 赞 +1 [67]chinayouth   2013-12-27 01:38
你儿子的试卷上,有这么大地方给你写吗?例如第一题,你还没写如何带入,如何移项,如何配方呢。最后答案应写“所以这是个a=6,b=c=4的等腰三角形”。中学老师就是这么坑人的!
IP: 115.156.237.*   | 赞 +1 [66]薛宇   2013-12-26 20:14
相当的坑爹。
IP: 202.113.13.*   | 赞 +1 [65]lzy0702   2013-12-26 19:29
表示上了四年工科之后仍然会做,看来当年印象还算深刻
IP: 159.226.119.*   | 赞 +1 [64]刘青松   2013-12-26 17:28
大家玩初二的题,那就再玩一道小学一年级的题目:小白兔排队,前面有6个人,后面有7个人,问,队伍里有多少人?
IP: 222.87.23.*   | 赞 +1 [63]ybtr3929   2013-12-26 12:42
回复[44]sufx2007,比较支持你的观点,在思考问题或者做题,人总有一个特点——喜欢按照熟悉的、已知的思路去解决问题,我称之为惯性思维。该二题,如果以会做不会做为标准去判断一个人的思维能力是存在问题的,一个人见过类似的题,且老师教会他如何做,他做此类题自然十分顺利,对他而言只是一个技巧熟悉训练而已。
IP: 61.185.190.*   | 赞 +1 [62]张林   2013-12-26 09:40
(b-c)^2=-4(a-6)^2,更直接得到b=c,a=6.呵呵,有些初中生很厉害的!
IP: 89.253.103.*   | 赞 +1 [61]徐媛   2013-12-26 05:39
我发现我完全没想到是可以用三角函数的。。。好像当年的三角函数都白学了
IP: 71.173.202.*   | 赞 +1 [60]yunmu   2013-12-25 22:58
这个可以用心算
因为BC=(A - 6) 平方+16, BC必须≥16,
因为 B+C=8, 正数B×C 必须 ≤16,  
所以 B=4, C=4, A=6
IP: 166.111.243.*   | 赞 +1 [59]杨柳林   2013-12-25 21:54
玩技巧玩到极致,也只能培养出匠人而已,成不了大师。
IP: 174.88.135.*   | 赞 +1 [58]liontigar   2013-12-25 21:45
"从考试结果上看"
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你还有机会看到考试结果?别扯啦。
IP: 218.65.113.*   | 赞 +1 [57]王文欢   2013-12-25 21:15
就这个题目根本算不上什么难题,偏题。意图很明显啊,大家怎么忘了吗,中考,高考最后几道填空与选择题都是这种题目吧。
不是那种很容易送分题,我相信中等偏上水平的解此题都没有问题。
IP: 220.168.13.*   | 赞 +1 [56]王锟   2013-12-25 20:42
老师:圣诞快乐!
IP: 123.66.146.*   | 赞 +1 [55]bjpdoc   2013-12-25 20:31
中国的数学教育就是奇技淫巧,只教人“术”,不教人“道” 。
IP: 58.38.228.*   | 赞 +1 [54]cuixiangmi   2013-12-25 20:30
to51楼,想起来了,以前数学老师就是这么教我们的。
IP: 222.205.107.*   | 赞 +1 [53]王顺   2013-12-25 20:27
回复46楼:解决一个问题,用先进的工具谁都会。但如果用简单的工具解决,还玩出花样来,这就是艺术。
IP: 222.205.107.*   | 赞 +1 [52]王顺   2013-12-25 20:25
数学竞赛的题目就是拿来玩的,根本不能反应一个人数学功底的深浅。这两道题,抱着玩玩的心情做出来了,感觉开心一下。如果要求学生总结经验,那太过分。
IP: 58.38.228.*   | 赞 +1 [51]cuixiangmi   2013-12-25 20:21
to50楼,7楼不妥,见31楼、40楼。
IP: 110.103.4.*   | 赞 +1 [50]孙平   2013-12-25 20:07
  
IP: 101.21.240.*   | 赞 +1 [49]ncepuztf   2013-12-25 20:00
这两道题型印象在中学都见过和做过。但现在做真还得想想,第一题配方无疑,但现在我不这么解,有时候针对具体的题用枚举法是最快的。比如a显然是8以下的数(三角形任意边长小于其余两条边的和),从7开始往下试验,到6得解。比配方快多了。
第二题能想到用代式,但像曹老师这么解,需要专门训练。
IP: 123.120.23.*   | 赞 +1 [48]王杭州   2013-12-25 19:52
看到第一题想到的解法。
b+c=8               -> bc<=((b+c)/2)^2=16
bc=a^2-12a+52 -> bc=(a-6)^2+16>=16
综上可知,b=c=4,a=6,为等腰三角形。
IP: 202.113.12.*   | 赞 +1 [47]赵磊   2013-12-25 19:47
回复7楼:你的对称性思路是错的,b、c完全等价是说他们的值可以互换,而不是相等。此处相等只是巧合而已。x+y=3,xy=2,你能说x和y等价,但值不同。
IP: 222.66.230.*   | 赞 +1 [46]yangb919   2013-12-25 18:56
[48]shenlituo  2013-12-25 18:37 就算是秒做出来,又能说明什么,顶级大牛的数学难题还在那里,做出来或做不出来这种题,难题就在那,不增不减。。。
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顶级大牛的难题更注重不同数学领域的关联,而不是技巧的运用
IP: 183.251.76.*   | 赞 +1 [45]shenlituo   2013-12-25 18:37
就算是秒做出来,又能说明什么,顶级大牛的数学难题还在那里,做出来或做不出来这种题,难题就在那,不增不减。。。
IP: 117.130.223.*   | 赞 +1 [44]熊典广   2013-12-25 18:21
曹老师好,有的题目并不是一定要算的哦,如果一味的算那么就思维定式了,我们可以猜,可以试,比如第一题。
IP: 92.228.45.*   | 赞 +1 [43]易敏   2013-12-25 18:14
我认为竞赛的最高境界是,用现阶段所学的简单知识去解决了需要采用更高等知识才能解决的问题。我还十分清楚的记得,小学六年级时还没学一元一次方程,但相关的应用题,我都能以小学的数学思维去求解。后来上了初中,才发现思维方法完全不同,直接设未知数求解方程固然简单,但锻炼你的思维能力的,还是小学的思维方法。
IP: 223.221.176.*   | 赞 +1 [42]乌志明   2013-12-25 17:56
看过你晒的几道初中题,也想讨论下中学数学教育问题。以你的题为例,写了篇“数学逻辑背后,可能是陷阱”http://blog.sciencenet.cn/blog-676693-752731.html
IP: 123.138.79.*   | 赞 +1 [41]sufx2007   2013-12-25 17:55
个人感觉这两道题其实很常规,以前上学都见过做过,出题的思路也很明确,特别是第二题,明显的不可能让你去硬算,技巧就在于你对平方式的理解。之前见过一篇博文说这两道题很多博士教授都做不出,倒不是题目偏难,只是每一个时期个人的解题思路是不一样的。
IP: 59.66.49.*   | 赞 +1 [40]刘立   2013-12-25 17:42
感觉是偏歪邪 题
IP: 58.241.131.*   | 赞 +1 [39]孔维文   2013-12-25 17:42
如不考虑命题者意图,第一道题凑硬数都能凑出来。假定是等腰三角形,并假定b=c,则很快算出a的值。假定成立。假定不是等腰三角形,不失一般性,假定b=1,c=7,则得(a-6)^2=-9,而这不成立。
IP: 131.227.2.*   | 赞 +1 [38]彭年华   2013-12-25 17:18
看来问题是有对这类无聊问题当科学问题的教授要混饭吃。
IP: 202.120.98.*   | 赞 +1 [37]cuixiangmi   2013-12-25 16:48
中国的数学题都是凑出来的,再玩一些技巧。其实这题可以写成更一般的,然后讨论,这样更有意义。如,b+c=8, bc=a^2-12a+m,改变几个m,讨论a, b, c的可能取值。
IP: 125.71.200.*   | 赞 +1 [36]闫钟峰   2013-12-25 16:21
试了一下手,感觉两道题的区别在于是选用分析法或是综合法。第二题从问题中的分式入手,稍作化简后很容易想到利用y和1/y的倒数关系。如果上来就硬算,求根后再代入,那就中圈套了。第一题则相反,问题没有什么可用信息,只能从条件出发,消元后算一下,看看能得到什么,计算过程中很容易利用完全平方公式得到a、b、c的值,进而得到答案。
IP: 222.66.230.*   | 赞 +1 [35]yangb919   2013-12-25 16:04
上海这里的一道初中奥数题,求y=x^3-x^5,x在[0,1]中的最大最小值,用中学数学去做,简直就是两个字,恶心
如果很容易做出来就不恶心啦。  y=x^3-x^5=x^3(1-x^2)  如果想用均值不等式,必须求y^2=x^6(1-x^2)(1-x^2) 剩下来就是 2/3x^2 + 2/3x^2 +2/3x^2 +(1-x^2) + (1-x^2) = 2 ,那么在  2/3x^2 = (1-x^2) 存在极值,剩下来就是简单计算问题了。
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这道题初中\高中\大学都可以做,还是高等数学自然且接近问题本质
IP: 222.66.230.*   | 赞 +1 [34]yangb919   2013-12-25 15:56
思辨能力是核心能力
IP: 121.14.162.*   | 赞 +1 [33]jinchengfeiwu   2013-12-25 15:55
你做家教去了?多少钱一小时啊?给我也介绍一份
IP: 222.66.230.*   | 赞 +1 [32]yangb919   2013-12-25 15:55
[30]danuoyi  2013-12-25 15:42 中国的数学物理教学,包括大学的,都存在致命问题。
都是在培养解题高手,一切为了考试解题需要。
真正需要的,学科思维模式的培养,逻辑概念体系的清楚了解,这两个最重要的方面的教育,从中学到大学,基本没有。
所以,中国出不了能够做出世界学术贡献的基础科学大师,得不了诺奖,是必然。
中国人并不笨,但中学大学里面的老师,普遍的思维方式,都存在问题,根本不是按数学和物理的思维范式在思考。教出来的学生,还是一样的思维模式。
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这句话说到点子上了
IP: 210.72.8.*   | 赞 +1 [31]曹长青   2013-12-25 15:50
做数学题要给小朋友开拓一下思路,才不至于入了应试教育的圈套..
第二道题,未必要玩y+1/y这种套路.
明明是4次方和8次方,为什么要玩分式呢,不直观啊?对吧?
y^2+1=-5y
两边平方.移项,再两边平方.
再整理一下就ok.
IP: 113.140.84.*   | 赞 +1 [30]高原   2013-12-25 15:49
数学移交给离我远去,整天的实验啊
IP: 122.205.6.*   | 赞 +1 [29]刘士勇   2013-12-25 15:47
上海这里的一道初中奥数题,求y=x^3-x^5,x在[0,1]中的最大最小值,用中学数学去做,简直就是两个字,恶心
如果很容易做出来就不恶心啦。  y=x^3-x^5=x^3(1-x^2)  如果想用均值不等式,必须求y^2=x^6(1-x^2)(1-x^2) 剩下来就是 2/3x^2 + 2/3x^2 +2/3x^2 +(1-x^2) + (1-x^2) = 2 ,那么在  2/3x^2 = (1-x^2) 存在极值,剩下来就是简单计算问题了。
IP: 202.120.98.*   | 赞 +1 [28]cuixiangmi   2013-12-25 15:43
to24,如果b+c=7, bc=a^2-12a+48,怎么办?
要讨论各种可能性。
IP: 183.13.127.*   | 赞 +1 [27]danuoyi   2013-12-25 15:42
中国的数学物理教学,包括大学的,都存在致命问题。
都是在培养解题高手,一切为了考试解题需要。
真正需要的,学科思维模式的培养,逻辑概念体系的清楚了解,这两个最重要的方面的教育,从中学到大学,基本没有。
所以,中国出不了能够做出世界学术贡献的基础科学大师,得不了诺奖,是必然。
中国人并不笨,但中学大学里面的老师,普遍的思维方式,都存在问题,根本不是按数学和物理的思维范式在思考。教出来的学生,还是一样的思维模式。
IP: 218.76.28.*   | 赞 +1 [26]高志勇   2013-12-25 15:37
想到了初中的时候自己也很喜欢做这样的题目
IP: 222.66.230.*   | 赞 +1 [25]yangb919   2013-12-25 15:32
上海这里的一道初中奥数题,求y=x^3-x^5,x在[0,1]中的最大最小值,用中学数学去做,简直就是两个字,恶心
IP: 122.205.6.*   | 赞 +1 [24]刘士勇   2013-12-25 15:31
看了那么多回复,大家都是对竞赛怨声载道,没有人想到很自然的解法。我给出的解答也是简单,自然,明了,初中学生完全掌握的判别式方法。判别式方法有时候真的很有效,记得某年国际奥数IMO有道数论题目就需要判别式计算。
IP: 124.16.156.*   | 赞 +1 [23]陶立   2013-12-25 15:21
第二题太常规了...放在竞赛是送分题

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