一只蚂蚁，从坐标原点处往坐标1处爬，它能发现1处的陷阱吗?

高中时期，借得伽莫夫通俗读物《从一到无穷大》一本，很多内容刻尤在骨，封面上的如下一个等式就令人震撼：

近十年来，常有机会面试一些申请或希望进入湖南大学的高三理科生，“如何理解这个等式”之类是我面试题库中的常用题。另一道常用题也出自该书，说有一无限多房间的酒店注满了客人(每房限住一人)，可又来了两位客人，还能安排入住吗? 这道题的原始出处据说来自Hilbert.

仅仅学过初等数学，等式1=0.999...不妨这样理解：因为1/3=0.333...，所以1=3x(1/3)=0.999... . 当然，理解不等于证明。初等数学中的一个证明是0.999…=9 x (1/10+1/10²+1/10³+...)=1.

如果学过高等数学，证明这个等式最高明的方法需要利用到N-ε语言。而涉及这一语言，会遇到两个问题。

问题之一是区间和开和闭。对于半开区间：[0,1) 或者闭区间：[0,1]，等式1=0.999...含义不一样。如果一只蚂蚁从0往1爬，对于半开区间，这只蚂蚁不可能到达但是能越来越接近接近1，在x=1这个地方，很可能有一个陷阱；而对于后者，则可以到达。也就是，如果定义一个函数，对于前者，函数是x=1不可能是连续点；对于后者，则有可能。

问题之二有点深奥：在这一点，函数发生了什么事件? 数学上，函数的性质是预先定义好的；在物理上，往往关注一个物理对象，而非抽象的数，例如粒子的运动，一个热力学系统等等。对于这个具体的物理对象能否到达x=1的点，不是一个函数本身就能说清楚，有些问题往往需要通过求导数甚至积分才能看清楚。

所以，弄清函数在x=1处的性质，看似数学，其实能反映出一个物理学家的理论修养。李政道、杨振宁这样的大家由此而创造历史，当然更多的物理教授闹出笑话来而不自知。

一，球与刚性壁间的弹性碰撞

考虑一个质点从x=0处往x=1处匀速地飞，在t=0时与x=1处的刚性壁发生弹性碰撞。位置x对时间t的依赖关系如下：

图示如下：

x可以到达1这一点，x本身的定义域为[0,1]. 对x求时间t的导数，得速度：

速度空间发生了“灵异”事件：当t=t₀时速度无法定义! 也就是从速度空间看，说不清楚粒子有没有到达x=1的点，或者粒子到达后，粒子的速度如何? 图示如下：

进一步揭示x=1处的奇异性，再求导之。结果出现一个“高等”函数——狄拉克d函数d(t-t₀):

a= -2vd(t-t₀)= -2v²d(x-1)

也就是出现了一个等效力场：

F=ma= -2vd(t-t₀)= -2v²d(x-1)

所谓等效力场，一方面它贡献一个冲量，这个冲量刚好改变粒子的运动方向；另一方面它不做功，W=0!

加速度空间图示结果如下：

这是一个极其简单的例子，揭示的道理却是深刻的：蚂蚁能爬到1，爬到后会原路返回! 运动是连续的，但是力场确具有奇异性。力场的奇异性通过对运动的求导数就可以揭示出来。

二，杨振宁-李政道定理

给一个连续函数描述水的流体态，谁是天皇老子能告诉我这个函数何时水处在气相还是液相? 杨-李单位圆定理(西方作者往往称之李-杨定理)是李杨合作的最高成就之一，他们二人的天才在于准确理解了通过求导发现函数奇异性的道理，从而解决了上述问题。

设一个(配分)函数为：

这个函数z=1为可除奇点，也就是它本身完全是一个连续函数。这个函数类似于上例中位置x和时间t的关系。

物态方程是压强p和温度T和(单位质量物质的)体积v间的关系。固定好温度T，考察p和v之间的关系，需要对z求一阶导数。步骤如下：

和上面速度v对时间的依赖关系何其相似，“灵异”再次出现：体积v在z=1处不连续!

将z反解出来依赖于v，立即得到一级相变结果：

图示结果如下

不但蚂蚁能爬到1，爬到后蚂蚁居然变成了金刚。这个变化也是通过求导数才能看出来。

三，一个贻笑大方的故事

2005年，长沙理工大学物理系有位本科生写信给《物理学报》，指出该刊当年发表的计算三维各向同性谐振子能级的论文有误。《物理学报》对这类稿子通常的处理是：1，原文发表也是请专家评审过的，专家那么容易出错?  2.作者私下沟通一下算了，公开发表“comment”就免了吧。一篇彻头彻尾的错误论文就留在那里至今无人公开指出来。刊物的这种做法其实很不严肃，至少会导致内行对这份刊物权威性的怀疑。

我常有幸看到了论文作者(一位正教授)和那位本科生之间等的若干通讯。作为一名量子力学研究者，我非常佩服那位教授的胆量：对于三维各向同性谐振子能级这种过分熟悉体系的本质上的新发现，发表之前是否要扪心自问一番?

教授的新发现基于建议在r=0点的波函数Y应当满足rY有限，而不是Y本身有限，进而发现一个基态比大家熟悉的基态还要低。除了r=0点，体系的薛定谔方程中的势能的确是各向同性谐振子势能，但是，对波函数求两阶导数，立即发现r=0点出现了一个d函数势能。而三维各向同性谐振子中心带有d函数势能的情况，曾谨言先生已经给出正确处理的途径，那位教授的方法也不对。

在这个例子中，眼睁睁看到蚂蚁靠近1，然后跌到1处的沟里去了。呵呵。