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怎样进行数学建模？——与青年朋友谈科研（9）
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在昨天的博文中谈及了“应用数学过程”，明确指出：在实施应用数学过程中，数学建模起了核心作用。作为数理科学的科研工作者必须学会数学建模，这是管用一辈子的本领。建模方法千变万化，我这里只能讲一个梗概，要学会建模本事，需要再读一些著述，更重要的是边干边学，在建模中学建模。
本文概述数学建模的涵义、过程、分类和一个著名例子。
（1）数学建模的一般涵义
数学建模——根据需要针对实际问题构建数学模型的过程，亦即，通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象和实际问题进行近似刻画，以便于更深刻地认识所研究的对象。
数学模型不是对现实系统的简单的复制和模拟，而是经过对现实现象进行分析、提炼、归纳、升华的结果，是以数学语言来正确地描绘现实对象的基本内在特征，从而通过数学上的演绎推理和分析，运用解析、实验（保持相似律成立）或数值求解。
整个建模过程要注意高瞻远瞩、抓大放小，把握问题的内在本质。当研究问题有了正确的数学描述后，寻找适当的数学工具分析求解。关于求解方法的改进方面，要尽可能使所用的方法精确化、细致化和全面化。必须结合实例，就建模的正确性、有效性、可用性和适用范围进行准确的界定；对所产生的误差和不确定性进行实事求是的分析；对所得的结果，必须从物理学视角和实际应用角度进行解读。
（2）数学建模的一般过程
首先，基于一系列基本的简化假设，把实际问题中的数学描绘明确地表述出来，也就是说，通过对实际问题的分析、归纳、简化，给出用以描述该问题的数学提法；然后采用数学的理论和方法进行求解，得出结论；最后再返回去阐释所研究的实际问题，总结一般规律，即实现第一章中所述的“应用数学过程”，在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一座桥梁。
具体来说，数学建模的步骤如下：
l 通过调研，掌握实际问题的背景材料。明确研究对象（如物理问题、工程问题）和研究目的，了解相关的数据资料和基本事实（包括已有理论结果、观察结果、观测数据、实验资料等），提出清晰的基本目标，并在实际研究过程中随时准备不断修正预期目标；
l 辨识并列出与问题有关的各主要因素。建立基本假设，简化所研究的问题。明确模型中必须考虑的主要因素，预测、分析它们在问题中的作用，以变量或参数的形式表示这些因素。建模之初通常应最大限度地简化问题，建立最简单的模型，然后不断调整假设，提出修正，使得模型尽可能接近实际；
l 运用物理和数学知识和技巧建立问题中变量之间的关系。通常可以用离散的或连续的数学表达式来描述，例如，比例关系（如：牛顿粘性定律）、线性关系（如：广义牛顿粘性定律、胡克定律等）、非线性关系（如：非牛顿流体的本构关系、物理非线性材料的本构方程）、经验关系（如：反映非光滑管的阻力系数的尼古拉捷规律、水动力学摩阻的Manning公式等）、输入输出原理（如：元胞自动机模型的演进规则）、平衡原理（如：热动平衡规律、捕食者和猎物之间的关系等）、守恒原理（如：能量守恒、质量守恒、动量守恒、KdV守恒律等）、牛顿运动定律、微分方程或差分方程、矩阵关系、概率关系、统计分布等等（变量之间的关系不一定非要用方程来描述，只要能解决问题，可用各种方法确定问题的物理量之间的关系，例如离散映射关系），从而建立问题的数学模型。常见的表述各物理量之间的关系的有：代数方程，映射关系，差分方程，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分-微分方程等等；
l 进行参数辨识或参数标定。使用观测数据或问题的相关背景知识，辨识出问题中的参数的估计值；设计专门实验，标定参数。参数识辨和标定经常采用实测方法和数理统计方法。由于问题的参数识辨较为困难，所以成功的模型应该是简单的，所涉及参数尽可能地少且容易识辨；
l 运用所得的模型，进行分析求解。采用各种有效的数学工具求解所得到的数学方程等，然后，分析、解释模型的结果或把模型运行的结果与实际观测进行比较，开展进一步的案例分析，验证模型的正确性；
l 总结一般规律。对验证成立的数学模型进行总结归纳，尽可能上升到新的理论高度。
图3.1 数学建模的应用数学过程（见附件）
运作要点：a. 掌握第一手资料；
b. 抓住问题的主要因素；
c. 建立真实合适的模型；
d. 比照实际。
（3）数学模型的分类
按数学表述的形式分：连续模型；离散模型；
按表述的确定性分：确定性模型；非确定性模型（随机模型）；混合模型；
按问题的求解步骤分：正问题模型；反问题模型；
按数学物理工具分：基于量纲分析的轮廓模型；
基于数据拟合的经验模型；
基于守恒原理的方程模型；
基于平衡原理的机理模型；
基于运筹优化的规划模型；
基于网络分析的图论模型；
基于复杂性研究的层次分析模型等等。
（4）数学建模的经典范例
哥尼斯堡七桥问题——图论模型的典范
问题：哥尼斯堡城有一条河，现在用七座桥来连接河的两岸A、B和河中两岛C、D（如图3.2所示），试问：可否一次性不重复地走过这七座桥？
模型：1734年，Euler解决了这个问题。他把问题抽象简化为图论中的一笔划问题：数学上可证明：一笔划的基本要求是各点要有偶数条起迄路径，但是本题四点起迄路径均为奇数条，从而不可实现一笔划。即不能一次性不重复走过这七座桥。
图3.2 哥尼斯堡城七桥问题示意图（见附件）
以上对数学建模给出了一个概论，日后将继续予以深化叙述。
写于2010年10月3日
怎样进行数学建模（插图）https://blog.sciencenet.cn/blog-330732-369318.html
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