我现在问朋友们一个问题：我们什么时候开始接触数学建模的？如果我说，凡是上过一点学的人都或多或少地学过数学建模，你信吗？想一想，我们上小学时，在做稍稍复杂一点的数学应用题时，例如，著名的“鸡兔同笼”问题，就得通过较为简单的数学建模来求解。到了中学，这样的例子就更多了。所以，我们对数学建模不必有神秘感。现在国内每年要举行各种数学建模比赛，也使这种神秘感大大减少。目前欠缺的是：在本科和研究生教学中，老师对数学建模的关注和引导不足。

这里，引述钱伟长先生的一段话：“教学的过程，就在于让学生搞清‘模型’的意义。因为‘模型’反映的是事物的本质，是对客观事物的近似描述。我们要引导学生提出‘模型’，通过抓‘模型’，教给学生一种提出问题、分析问题、解决问题的方法。”（钱伟长，跨越世纪，上海大学出版社，2002，165页）

 

随着现代科学的发展，各个学科领域相互交叉、融合，特别是数理科学不断渗透到化学、生物学领域，科研中的建模显得越来越重要。

昨天的博文中，概略地讲述了自然科学研究中的数学建模问题。今天想举一个实际例子，来体会数学建模的过程。应博友的要求，试图简述流体力学中的基本方程——纳维-斯托克斯（以下简称为NS方程）的导出过程，这一过程本身就是一个绝好的建模过程。我浏览过不少流体力学教材，尤其是一些工程流体力学的教科书，其中往往把这一过程略过不提，或者未做重点介绍，这实际上是放弃了一个进行建模教学的良好机会，也会使学生难以掌握流体力学的精髓，更糟糕的是养成 “知其然，不知其所以然”的不良学习习惯。

 

大体说来，推导NS方程可采取宏观演绎方法和微观-介观演绎方法，前者采用连续介质假设，通过控制体积或流体微团的分析，建立一个完整的体系；微观-介观演绎方法采用统计物理手段，从速度分布密度所满足的波耳兹曼方程，通过对这一方程的各种形式的取矩来导得NS方程。本文主要讨论前者。

 

NS方程的孕育

 

我们先来简要地回顾流体力学的发展史，主要为了了解NS方程的孕育过程。

公元前3世纪，阿基米德（287－212BC）发现浮力定律（阿基米德原理），标志着流体静力学的发端；1644年托里拆里（E. Torricell，1608-1647）制成气压计；导出小孔出流公式；1650年帕斯卡（B. Pascal，1623-1662）提出液体中压力传递的帕斯卡原理；1668年，马略特（E. Mariotte，1620－1684），出版专著《论水和其它流体的运动》奠定流体静力学和流体运动学的基础。

这时，社会发展产生了发展流体动力学的需求。马略特首次研究了流体产生的阻力；接着，1678年，牛顿（I. Newton，1642-1727）研究在流体中运动物体所受的阻力，并建立牛顿粘性定律；1738年，丹尼尔·伯努利（D. Bernoulli， 1700-1782）出版《流体动力学》，将力学中的活力（能量）守恒原理引入流体力学，建立伯努利定理（伯努利方程）；1752年，达朗贝尔（J. le R. D′Alembert，1717-1783）提出理想流体运动的达朗贝尔佯谬（即在无粘性流体中运动的物体不受阻力；1755年，欧拉（L. Euler，1707-1783）导出流体平衡方程和无粘性流体的运动方程，即欧拉方程，从而建立了理想流体动力学。此时，粘性流体动力学已呼之欲出。

1763年，玻尔达（J-C. Borda，1733-1799）进行流体阻力试验，给出阻力公式，开了粘性流体动力学研究的先河；1777年玻素（C. Bossut，1730-1814）等完成第一个船池模型试验，完全确认了流体中运动物体与速度的平方成正比的结论；接着，迪比阿（P. L. G. Du Buat，1734-1809）做了更细致的研究，写成《水力学原理》。

以上工作为NS方程的导出在实验上和理论上奠定了基础。1822年，纳维（C-L-M-H. Navier，1785-1836）引进连续介质假设，采用流体分子运动的观点，考虑了分子间的相互作用（宏观地表现为粘性），导出粘性流体动力学的动量方程；1845年，斯托克斯（G. G. Stokes，1819-1903）建立了更为准确的粘性流体的连续介质模型，引进了两个粘性系数，更简洁严谨地导出粘性流体动力学的动量方程（纳维－斯托克斯方程）。现今的流体力学教科书就基本上采用了斯托克斯的表述形式。

有关上述历史的详情可参看武际可：《力学史》（上海辞书出版社，2010，231～244页）。

 

导出NS方程的基本假设

 

经过梳理之后，我们知道，导出NS方程采用了如下基本假设：

 

1）                牛顿力学假设成立。只讨论流速远小于光速和特征长度远大于原子尺度的情形（Einstein数 远小于1，V为特征速度，c为真空中的光速），即不考虑相对论效应和量子效应；相对论流体力学和量子流体力学分别计及这两种效应，不在这里讨论；

2）                连续介质假设成立。仅考虑Knudsen数（即流体的分子平均自由程远与问题的特征长度之比）远小于1的情形，每一宏观小、微观大的流体微团里含有足够多的流体分子，微团紧密地排列着。稀薄气体动力学考虑Knudsen数近于或大于1的情形；在微流动问题中也会出现这一问题；这里不予研究。

3）                热动平衡假设成立。认为运动的流体微团处于热平衡，即分子运动趋于平衡的弛豫时间远小于问题的特征时间；

4）                热力学第一、第二定律成立（即能量守恒律和熵增定律成立）；

5）                Helmboltz速度分解定理成立（速度=平动速度+转动速度+变形速度）；

6）                广义牛顿粘性定律成立。假设运动流体中的剪切应力等于流体应变率分量的齐次线性组合（含广义粘性系数81个）。考虑此定律不成立的情形属于非牛顿流体力学范畴；

7）                流体各向同性假设成立。于是，广义粘性系数从81个缩减为2个；

8）                Stokes假设成立。即假设流体的第二粘性系数（体积粘性系数）为零，不考虑流体压缩或膨胀中的粘性阻滞效应；

9）                运动流体中温度不是很高且无急剧变化。可近似地认为流体的粘性系数与温度无关。可以认为温度不太高，不会产生电离和离解现象；

10）            流体均质假设成立。不考虑分层流体、异重流及随之而来的浮力等效应。

以上各假设中，前五个是本质的，第六、七个假设经常是必需的，后三个假设则是非本质的，视情况需要，可以丢掉（即存在体积膨胀、存在高温区或电离区、流体非均质——分层流体）。一言以蔽之，纳维-斯托克斯方程适用于非相对论性的、密度足够高的、各向同性牛顿流体运动的描述。在忽略体积粘性系数，假定温度无剧变（即可假定粘性系数为常数）且流体为均质时，方程的形式较为简单。

因此，我们在科研中要应用NS方程时，首先应考虑其成立的假设是否成立。比方说，在研究微电子器件相关的流体力学问题，就需要慎之又慎。

还应注意，狭义地说，NS方程指的是粘性流体运动的动量方程；广义地说，也可包括质量守恒方程（连续性方程）、能量守恒方程（能量方程），这里采用广义说法，实际上讨论的是流体动力学的基本方程。

 

NS方程的宏观推导

 

我们应该知道，推导NS方程的出发点是物质的基本守恒律——质量守恒、动量守恒、能量守恒定律；为了使方程简约、可解，还必须辅以流体的本构方程，NS方程通常采用广义牛顿粘性定律为本构方程，这是基于实验的牛顿粘性定律的推广形式。当然，为了使方程组有封闭形式，还要辅以热力学中关于流体的状态方程。这里只谈连续性方程、动量方程和能量方程的宏观推导。

如所周知，科学方法论中的推理形式主要有两种：归纳推理和演绎推理。前者从特殊到一般，后者从一般到特殊。力学工作者更习惯于归纳推理。

 

先说归纳推理形式。基本思路是：从流体某个体积中质量、力和能量的动平衡。当这一体积很小时（即取为体积元时），相应的方法就是微元法；当这一体积为有限大小时，相应的方法就是控制体积法。若所取的体积是固定的，就对应于流体力学中的欧拉表述思路；若所取的体积随流体运动时，就对应于流体力学中的拉格朗日描述。因此，每个方程有四种推导方法。

在写得好的工程流体力学教科书中，通常采用与直角坐标的坐标面平行的小立方体做体积元。以推导动量方程为例。采用如下的动平衡方程：

体积元内的动量变化率＝从各个表面流出的动量＋体积力＋面力（压力梯度与剪切应力）

这是流体力学中运用牛顿第二定律的表示。

按上述思路，可以导出连续性方程、动量方程和能量方程。它可以有微分形式和积分形式；可以在直角坐标来表示，也可用曲线坐标来表示。（详见吴望一：《流体力学》（上册），北大出版社，1989）。

 

再说演绎推理形式。先建立一个抽象的量在某个运动体积的变化和输运过程，建立一个一般的定理，现在通称为雷诺输运定理，然后以单位体积的质量（即密度）、动量和能量代入，分别导出各个守恒方程。（详见刘应中、缪国平：《高等流体力学》，上海交大出版社，2002，第一章）。

 

进一步建模的“减法”和“加法”

 

有了NS方程或流体力学基本方程组之后，若碰到更简单的情况，就可采取“减法”来建模。例如，NS方程中去掉粘性项之后，就成了欧拉方程。如此等等。

如果碰到更复杂的情况，则采用“加法”，例如，要研究地球流体力学问题，考虑到地球是一个非惯性系，必须在动量方程中加上科氏力项；再如，若要研究湍流，由于存在脉动项，经过雷诺平均后，就可导得RANS方程。这时出现了方程不封闭性问题，就得引入别的假设和方程实质封闭。

 

从NS方程导出得到的启示

 

限于篇幅，这里无法涉及细节，甚至来不及说到NS方程的微观-介观推导，不过我们已可得到一些启示：

——数学建模应建立在已有知识的基础上；

——建模须从第一原理出发；

——对于复杂问题的建模必须提出合理的假设，这些假设大多有可靠的实验和理论依据；

——可以采用多种推理凡是和数学形式来建模。

 

这篇博文的内容稍稍专业一点。看不懂也没有关系，可以略过不读。

我注意到，这一系列博文的读者中不仅有青年朋友，而且有一些资深学者，欢迎大家补充、指正。

 

写于2010年10月4日

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