在概率论中，刻画随机现象的量叫做“随机元”。当然，一般的教科书都不怎么会用这个概念。这个概念涵盖了大家熟悉的“随机变量”，“随机向量”以及“随机过程”。

那么，概率论如何来刻画“随机元”？

最重要的概念是“概率分布”。概率分布告诉了我们这个随机元处于不同取值的“可能性”，也就是“统计性质”。可以说，概率分布一旦确定，原则上我们对相应的随机现象就进行了完整的刻画。当然，这里要提示大家，对于多元随机变量以及随机过程，我们这里所指的“概率分布”是联合概率分布。

但是，事实并不是想象的那般顺利。一般要得到概率分布是不大容易的事情。这时候，我们退一步，希望找到一些“粗略”一点的特征来刻画我们关心的随机现象。

当中最重要的当然就是期望，也可以叫做平均值。期望的重要性不言而喻，但是，对于不同的情况，期望的效用是不一样的。对于“正态分布”这样的“单峰”分布，期望非常好的刻画了分布总体的平均性质，也就是我们可以断言服从正态分布的总体，大部分个体是集中在“均值”附近；但是如果对于“凹”型，或者双峰的分布，期望虽然也揭示了系统的平均行为，但是这时我们不能说这个“均值”反应了总体分布的“倾向”，而仅仅是个数学上的平均而已。就像我们说两个班里的平均分都是80，但是A班同学大部分考80；B班同学大部分是100和60。对于这两个班，80的意义就是不一样的。

所以，光有期望是不够了，我们还关心这个分布偏离平均值的情况。于是引出方差的概念。用很时髦的话说，我们不仅关心平均“收益”，还关心“风险”。方差就是对风险的一种度量。

需要指出的是，如果是多元随机变量，我们还应刻画不同分量之间的关系，于是就有协方差矩阵的概念。

数学上说，期望和方差只是揭示了随机变量的“一阶矩”和“二阶矩”性质。那大家会问，“更高阶矩”涵盖了怎样的新信息？是否还能像期望方差那样有相当直观的涵义？答案是有的，三阶矩和四阶矩都有具体的统计学意义（偏度和峰度），大家可参阅相关教材。

但是，我这里想跟大家交流另外一个非常有意思的问题——“矩问题”。刚才我们讲到，如果对概率分布难以做到完全了解，就只能通过“期望方差”这些特征来进行粗略的刻画。那么，如果我有办法得到“任意阶矩”的信息，是否就能逼近对于分布的完整信息？这在概率论界是一类很著名的问题。

这里给大家一个好用的结论：如果随机变量的取值是有界的，那么矩问题就是可行的。也就是说，通过对许多阶矩的测量，就可以渐近的掌握分布的信息。

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