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再讨论“无穷大”
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再讨论“无穷大”
曹广福博友：
你的新博文“中秋节大话无穷大”对“无穷大“作了些有趣的调侃。
本博客系列博文“关于‘数学’的对话“中，已有多篇讨论到“无穷大“，与你的论点有很多差别。
因此，也想再对“无穷大“与你作点讨论：
你引用电视剧《笑傲江湖》中刘欢所唱的、曲调优美的插曲“人心无穷大”，说：
“无穷大有哲学层面上的、佛学层面上的、宇宙学层面上的，还有人文学层
面上的，可谓五花八门，多姿多彩”、“远不像数学里的无穷大那么枯燥乏味”。
但是，本博客 “关于‘数学’的对话“中，已经指出：各种数都是从实际
事物中抽象出，并按其本身的客观规律性而产出生产的。
在回复二傻的有关提问时，还具体说到：
"无穷大"和"无穷小"都是从现实世界中产生的概念!
时空和数都是可无限扩展的!宇宙无始无终，数可至正负无穷!
这就是现实世界中的"无穷大"!
变量和相应变化的函数,应是有相应比值,
其比值是有随变量的大小而变的规律性,
当变量趋向于尽可能小,就有确定的比值!
而这样的变量和相应变化的函数,就是一类"无穷小"!
这类涉及“无穷”的确问题还有很多，例如 “关于‘数学’的对话“中，
已经讨论到的：某些有理分数，例如1/3等，可由相应的有限位数的无限循环
小数趋近地表达，而无理数就也可用无限位数的无限循环小数趋近地表达，还有，
无穷项級数，以及求其极限的问题，等等。
因此，还是应强调数学里的无穷大能反映其在实际事物中的本质。不管在什
么层面上，如何的五花八门，多姿多彩，只要是谈到“无穷大“就不能偏离
数学里的本质含义。讨论“无穷大“就应按数学里的本质含义进行。
至于其它那些“层面”的具体不同，还可另文再讨论。
而且，无穷大本身就有很丰富、有趣的独特性质，并不“那么枯燥乏味”。
你说：“在数学上无穷大是指要多大就有多大，也就是指你随便给出一个多
么大的数，无穷大总可以比你给定的数大，所以无穷大是一个变量。无穷小
则是指要多小就有多小，它可以无限趋向于零，你随便给出一个多么小的数，
无穷小总可以比你给定的数要小。换句话说，无穷小也是一个变量”，
在“关于‘数学’的对话”和有关的讨论中，也已说到：
“无穷大是要多大就有多大；无穷小是要多小就有多小，可以趋于0，”、
“无穷大和无穷小还都没有确定的数值，不是通常的常数”，
所以，在这些观点上，咱们是一致的。
但是，它们也不是你所说的通常的变量，它们既非通常未知的变量；也非通
常确定的变量与相应确定的函数。它们是有确定数量范围；但并无确定数值的量。
它们还都可以有正和负。
正、负的无穷大可以是一个数轴的正、负两端。但是，这两端究竟伸到多远？
就并不确定，而只能是要多远就有多远。
正、负的无穷小可以是一个数轴靠近通常的常数0的正、负两边的数。但
是，这两边究竟靠到多近？就并不确定，而只能是要多近就有多近。
也可看作：在3维空间，以原点为中心的球体，
当半径伸至无限长的球面各点与原点的距离，就都是无穷大，而且，也无所
谓正、负。至于半径伸至多长？就也并不确定，而也只能是要多长就有多长。
当半径缩至无限短的球面各点与原点的距离，就都是无穷小，而且，也无所
谓正、负。至于半径缩至多短？就也并不确定，而也只能是要多短就有多短。
有人认为：无穷大就是无穷小，是因为在数轴上，误把“负的无穷大”定义
为无穷小所致。而按正确的定义，无穷大就决不可能是无穷小。
而且，也并非你所说的：“不过有一个特殊的无穷小量却是个常量，这就是0。有些人认为0不是无穷小，人们只是用0代表无穷小，这是常识性的错误”。
无穷小并不“就是0”，而只是可以趋于0。
你批判：“有人把无穷大与0看作对立统一的两个方面，在概念上可能有
些混淆，0的确是个无穷小，但是一个特殊的无穷小，虽然它不代表虚无，然而
无论从什么层面上看，它都是个确定的量，即常量，怎么可以和玄而又玄的无穷
大相提并论？1/0只是个符号，很多人之所以把0与无穷大看作对立的统一，
就在于对这个符号的理解上存在误区！”。
可能正因为没能弄清：此处的0，并非通常常量的0，而只是趋于0的无穷
小。
而所谓“任意常量/
是一个 符号。任意常量/无穷小就应该=无穷大。
所以有人把无穷大与这种实际上是无穷小的0看作对立统一的两个方面是
并不错误的。
其实，这也类似于[二傻]至今始终弄不清：0，333……的无限循环小数等
于1/3，只是趋近于1/3，而总认为“有鬼”一样。
类似的，还有例如：
求无穷项級数的极限，也虽是用“=”号，表达与其极限值的关系，但是，
求和項n也是必需趋于无穷。
因而，实际上，这些也都是只是趋于其极限值。而也可认定为是一种有条件
的相等。
“关于‘数学’的对话”还强调：
“0（此处的确，实际表达的是趋近于0的无穷小）和无穷大还都是特殊的
数!”、“通常所謂：“n=
但是，要特别注意：它们的4则运算也与其它的数的都不相同。
并具体举出：
0和无穷大与其他数A（不是0和无穷大），有很大的差別，例如：
任何其他的数A的4则运算都可表达为另一其他的数。
但是，任何其他数A+0就是还=A，任何其他数A-0也还是=A，
任何其他数Ax0卻都是=0，任何其他数A/0卻都是=无穷大。
无穷大加任何其他数A还是=无穷大，无穷大減任何其他数A还是=无穷大，
无穷大乘任何其他数A还是=无穷大，无穷大除任何其他数A还是=无穷大，
任何其他数A除以无穷大=0，
还有很重要的不同：
0和无穷大的自连乘积都有不同的幂级!
例如：0^j,（无穷大）^k，等等
任何其他数乘以0^j=0^j，任何其他数乘以(无穷大)^j=(无穷大)^j，
0^j乘以0^k=0^(j+k)，
(无穷大)^j乘以(无穷大)^k=(无穷大)^(j+k)，
0^j乘以(无穷大)^k=0^(j-k)=(无穷大)^(k-j)，
任何其他数除以0^j＝(无穷大)^j，任何其他数除以(无穷大)^j=0^j，
0^j除以0^k=0^(j-k)，
(无穷大)^j除以(无穷大)^k=(无穷大)^(j-k)，
0^j除以(无穷大)^k=0^(j+k)=(无穷大)^-(j+k)，
0^j除以任何其他数＝0^j，(无穷大)^j除以任何其他数=(无穷大)^j，
0^j除以0^k=0^(j-k)，
(无穷大)^j除以(无穷大)^k=(无穷大)^(j- k)，
(无穷大)^k除以0^j =(无穷大)^(j+k)=0^(-j-k)，
0^j除以0^j=0/0=任何其他数，
(无穷大)^j除以(无穷大)^j=(无穷大)/( 无穷大)=任何其他数，
由此还可以看到：同冪級的0和无穷大还是互为倒数的！
看來，0和无穷大确实与其他数有很大的不同！
特別是：0和无穷大还似乎还有不同的級別哩！它們都可以有各自不同的方
次，而有不同的性質。
其实，这用前面的无穷大和无穷小的3维球体就容易理解：它们的半径是1维的，它们的圆面和球面是2维的，它们的球体是3维的。
同級的0相加、減，都还是该級的0，
不同級的0相加、減，就还是不同級的0相加、減，
同級的无穷大相加就还是该級的无穷大，
同級的无穷大相減就可能是任意数包括低于该級的无穷大，
可见，无穷大、无穷小，以及无穷小趋近而所表达的0，本身就有很丰富、
有趣的独特性质，并不“那么枯燥乏味”。
而且，它们的这些特性观点，在实际的问题中，例如：将相对论的运动质量
用于对光子特性的分析，都有重要的意义与作用。
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