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一道复变函数题

已有 5805 次阅读 2009-9-25 22:03 |个人分类:复变函数|系统分类:教学心得

           这是一道复变函数题。你做出了这道题之后,你的复变函数课就相当于免试了。如果你愿意,我们也很高兴邀请你加入我们的小组。

          题目是这样的:
          请你将附件里文章中第(5)式到第(30)式的推导做一遍。需要的参考文献在文章中已经注明了。

           提示:为了做这道题你需要自学一下这几方面的复变函数知识:
          (1)解析延拓
          (2)解析函数的边值问题(也就是非孤立奇点的情况)
          (3)幅角原理
        
          有了课上我们讲的那些内容,你完全可以通过自学掌握这些复变函数的知识。我可以推荐一下参考书:
           (1)解析延拓哪本复分析的书里都有,但没有那本书讲的内容是有用的,大都是泛泛而谈地讲些屠龙之技(你要是发现哪本书讲得好就请告诉我一下)。学习解析延拓最好的办法似乎是去看看解析数论方面的书。
             (2)解析函数的边值问题直接看N.I. Muskhelishvili的《Singular Integral Equations: Boundary Problems of Function Theory and Their Application to Mathematical Physics》(Leyden: Noordhoff 1977)就可以了。主要看其中的关于Riemann-Hilbert问题的部分。
              (3)幅角原理哪都有,没有讲不清楚的幅角原理的书。

 

 

题目

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1 段维涛

发表评论 评论 (5 个评论)

IP: 211.81.56.*   | 赞 +1 [5]dshshrrr   2010-10-27 20:04
题在哪?我看不到
博主回复:左下角那个蓝色的链接。
IP: 202.108.128.*   | 赞 +1 [4]王永晖   2009-9-29 11:01
『重整化-解析延拓』

能否推荐一下这方面的科普性或综述性的报告和基本书籍。
博主回复:解析延拓只是重整化的一个步骤,属于正规化的那部分。
关于重整化的科普大都是从物理的角度讲一下裸电荷和穿衣的电荷之类的问题,估计不是数学专业的人感兴趣的。但是如果涉及解析延拓这样的问题,就没有科普书讲了。一个数学专业能看懂的例子可以在M. Stone, The physics of quantum fields, Springer-Verlag, New York U.S.A. (2000)中找到。其它例子我没有想到太适合数学专业看的,也许我们自己的一篇文章的相关部分是一个数学专业的人能看懂的例子(Wu-Sheng Dai and Mi Xie, JHEP02(2009)033 )。
IP: 202.108.128.*   | 赞 +1 [3]王永晖   2009-9-29 10:58
[这件事本质上就是解析延拓]

但好像在技术细节推理上,重整化跟解析延拓不是一回事,所以这让我们很感兴趣,如果重整化,能给zeta-function的critical strip(非平凡区域)中的值另外一种计算方法,那会是很重要的结果。
IP: 202.108.128.*   | 赞 +1 [2]王永晖   2009-9-27 23:09
重整化很有意思,感觉跟解析延拓的想法很像,有些人正在做zeta-function整数点的重整化,不知能否推广到所有点上,据说有可能行,但没有跟进,所以不知道最新研究文章。
博主回复:重整化的第一步就是将无穷大分离出来,这一步就是所谓的正规化,这件事本质上就是解析延拓。猛地看上去从一个无穷大中分离出无穷大而只留下有限的部分是非常任意的。其实不是这样,因为解析延拓有唯一性定理做保证。
比喻性地说,重整化有些像可去奇点的情况。在这个奇点上,函数本来没有定义,但我们可以为它指定一个有限值。这种指定的方式貌似任意,其实是唯一的(要与解析的部分平滑过渡)。
在物理中,我们确实只关心几个特殊点的情况,当然数学总会把这些结果不停地推广下去。
谢谢您推荐的书,我已经找到了,非常好。
IP: 202.108.128.*   | 赞 +1 [1]王永晖   2009-9-27 15:40
『你要是发现哪本书讲得好就请告诉我一下)。学习解析延拓最好的办法似乎是去看看解析数论方面的书。』

现在Stein写的Complex Analysis中,已经覆盖了经典解析数论的zeta-函数的延拓方法,可能比看Titchmarsh的书要容易很多。
博主回复:非常感谢。无论是教学还是科研中我们频繁地用到解析延拓(尤其是在做重整化方面的问题时),但从来没有找到一本合适的书。谢谢您。

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