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测度之伟大（II）--积分与极限何时能交换顺序？
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我在前一篇博文《测度之伟大(I)--如何由几乎处处收敛做到一致收敛？》中谈到了如何由几乎处处收敛（或者处处收敛）得到一致收敛，收敛的方式决定了极限函数的性质，叶果洛夫（Egoroff）定理的伟大之处在于通过它可以将一个几乎处处收敛函数序列的定义域做适当修改从而使得该序列一致收敛，于是与之相关的问题迎刃而解，因为在一致收敛条件下诸如连续性、可积性等问题是显而易见的。但它与最终解决积分与极限的交换顺序问题尚有一段距离。回顾一下前篇文章中的两个例子：
例1： fn(x)=xn, x∈(0,1)，
fn(x)在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。
例2：gn(x)=(n+1)xn, x∈(0,1)，
gn(x) 同样在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。
然而这两个函数列有很大不同，分别对两者做积分我们看到：
∫（0，1）fn（x）dx=1/(n+1)→0=∫(0,1)0dx
∫（0，1）gn（x）dx=1≠0。
这就是说，尽管我们将（0，1）区间挖掉一个长度充分小的区间（δ，1）后，fn(x) 与gn(x)在（0，δ）上都一致收敛到0，但前者积分与极限可以交换顺序，后者则不然。原因何在？
为了寻找到发生障碍的原因，还是从一致收敛的函数列说起，假设fn(x) 与f(x)是定义在[a，b]（开区间也可，但要保证可积性，那样将涉及到暇积分）上的连续函数序列（假定连续是为了避免讨论可积性），且fn(x)在[a，b]上一致收敛到f(x)，我们知道此时积分与极限是可以交换顺序的，一致收敛性条件很强，多数情况下做不到，那么从一致收敛性条件我们还可以得到关于函数序列的什么特征呢？或许这些特征能告诉我们一些本质的东西，由一致收敛定义知对任意
>0
[a，b]，有|fm(x)-f(x)|<，从而+|f(x)|。显然+|f(x)|在[a，b]上可积，所以{fm}
这里需要我们学会一点逻辑思考！既然我们可以在“很大”的范围内能做到一致收敛，而一致收敛的情况下积分与极限是可以交换顺序的，那么问题的关键就在于当区间长度很小时，函数序列的积分会发生什么变化。要搞清楚这个问题，我们很自然地会想到另一个问题：如果一个函数序列整体上能被一个可积函数控制住，那么在长度很小的范围内会发生什么事？或者说得更具体一点，随着区间长度的减小，积分会如何变化？
你想到了什么？
假设f(x)是[a，b]上的可积函数，如果区间长度b-a越来越小，积分∫[a,b]f(x)dx会怎样变化？哈哈，你若是再没反应，说明你微积分真的学得有问题了。假如你能回答：“积分也越来越小”说明你聪明，知道积分是具有“绝对连续性”的。如此问题就好办了，既然|fn(x)|<F(x)，那么就有∫[a，b] |fn(x)|dx≤∫[a，b] F(x)dx，这意味着尽管函数序列未必一致收敛，但函数序列只要能被一个可积函数控制，积分将随着区间的长度趋于0而一致地趋于0（即与下标n无关）。进而积分与极限交换顺序的问题就可望得到解决，这就是实变函数里赫赫有名的Lebesgue控制收敛定理。当然，如果在Lebesgue积分意义下讨论问题，还需要弄清楚Lebesgue积分是否具有绝对连续性，幸运的是，答案是肯定的。这就是下面的
定理（积分的绝对连续性）若
>0
>0
,且mA<
时，
有了Egoroff定理与积分的绝对连续性，控制收敛定理的证明就不在话下了。
定理（Lebesgue控制收敛定理）设
F(x) a.e.，且F在E上可积，如果
Lebesgue真伟大！
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