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大数定律严格的数学表述需要一些测度论的语言。根据其收敛性的不同,我们一般区分强大数律(SLLN)和弱大数律(WLLN)。
我不打算从这个角度来谈大数定律。理由一方面觉得要用数学的方式讲清楚得费一番工夫;另一方面,个人觉得对于大数定律更重要的在于理解,特别对于非概率专业的朋友,挖掘“大数定律揭示了何种的自然规律”才是更有意义的事情。
大致上讲,大数定律表达了这样一件事:将大量在微观上的随机运动作宏观的平均,这个宏观平均量会表现出某种确定性。之所以会这样,直观上可以理解成当观测的微观粒子足够多,“随机扰动”就会被“average out”。这是不难理解的,在生活中我们会遇到许许多多这样的经验。比如扔硬币,如果扔的次数很少,比如三、五次,这样统计一下出现“正面”的频率,会发现波动很大;但是当多次之后,比如100次,就会发现出现“正面”的频率大约在1/2上下徘徊。所以我们都能接受扔硬币出现正面的概率是“1/2”的说法。但大家必须明白,“概率”是无法测量的,只有“频率”是可以被测量的。所以正是大数定律告诉我们,用“频率”去推测“概率”是合理的。
几乎每本初等概率论的书都会在大数定律的部分讲解上面的内容。在教科书里,对于大数定律总会强调两件事:“独立性”和“大量”。个人不愿意把这两个词严格化,我更希望朋友们能“模糊”的去体味。独立性就是指系统中的个体运动尽量保持独立,不要太受其它个体的影响。如果不是这样,“average out”就不一定会起作用。
基于大数定律的启示,我们在处理实际问题的时候,可以有这样的倾向:如果我们面对的系统存在大量的粒子或个体,在处理系统动力学方面问题的时候,可以尝试忽略个体随机噪声的影响,而这种忽略不会对系统的整理行为分析带来太多误差。当然这只是一种方法倾向,严格起来还是得具体问题具体分析。
个人体会概率论最为诡异的地方在于“真实的概率”是“不可观测”。虽然在理论上,概率论有非常严格的公理体系和丰富的研究成果。但是在现实中,人们仍然会质疑概率论在哲学层面的意义。我的一些朋友,学法律,学中文,学生物等等,跟我交谈最多的就是“概率”本身的涵义。很遗憾,给出一个满意答复的难度不小。
但是我想一定程度上大数定律可以扮演这样的角色。
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GMT+8, 2024-9-27 07:34
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