为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   图难乎其易也，为大乎其细也。天下之难作于易，天下之大作于细。

—— 《老子五千言》第63章

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（152）：欧拉ζ(s)到底被不断延拓（黎曼解析延拓）成了什么样子？

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、欧拉 ζ(s) 到底被不断延拓（解析延拓）成了什么样子？

图1  黎曼1859年第 672页局部，德文

图2  黎曼1859年第 672页局部，德文对应的汉译

图3  欧拉 ζ(s) 的两次“扩大定义域”，延拓

图4  黎曼 ζ(s) 的平凡零点（trivial zeros

图5  欧拉 ζ(s) 自己的“扩大定义域”

图6  bilibili 一个视频的截图1

图7  bilibili 一个视频的截图2

二、黎曼 ζ(s) 的函数的平凡零点（trivial zeros），到底来自何处？

   黎曼 Zeta函数的平凡零点（trivial zeros），

   是哪步推导引入的？

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-08-10 03:40，[打听，科普，数学] 素数（151）：与欧拉ζ(s)对照，黎曼解析延拓 ζ(s) 第一步的后果是什么？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547174.html

[2] 2026-08-09 23:39，[打听，科普，数学] 素数（150）：与欧拉ζ(s)对照，黎曼解析延拓后的 ζ(s) ，到底有哪些具体的变化？(1)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547169.html

[3] 2026-08-08 23:27，[笔记，科普，数学] 素数（149）：黎曼解析延拓后 ζ(s) 的收敛域

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547068.html

[4] 2026-08-07 23:49，[笔记，科普，数学] 素数（148）：欧拉 ζ(s) ，用 η(s) 表示出，以及 s 扩展为复数时的收敛域的变化

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546946.html

[5] 2026-06-29 00:34，[打听，科普，数学] 素数（109）：欧拉用 η函数表示实数域的 ζ 函数，收敛域扩展到了 (0, 1)+(1, +∞)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541357.html

[6] 2026-07-07 22:03，[打听，科普，数学] 素数（117）：是否存在“非欧拉乘积”的含所有素数的因式分解公式？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542655.html

[7] 2026-08-06 02:22，[笔记，科普，数学] 素数（147）：仿真，从黎曼 J(x) 根据非平凡零点反演出 π(x) （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546701.html

[8] 2026-08-05 23:27，[打听，科普，数学] 素数（146）：怎么理解黎曼 1859年论文第675页 logζ(s) 的推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546698.html

[9] 2026-08-03 20:41，[笔记，科普，数学] 素数（144）：黎曼假设能给出“精确的”素数计数函数吗？1859年论文第675、678页局部截图

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546359.html

[10] 2026-08-02 23:46，[笔记，科普，数学] 素数（143）：黎曼 ζ函数非平凡零点与素数位置的一些仿真结果（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546212.html

[11] 2026-08-01 23:51，[笔记，科普，数学] 素数（142）：“欧拉乘积 Euler product”引入了比算术基本定理更多的多余项（2）？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546109.html

[12] 2026-07-31 22:33，[笔记，科普，数学] 素数（141）：欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）引入了比算术基本定理更多的多余项？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545990.html

[13] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545265.html

[14] 2026-08-03 23:24，素数全部博文网址（2026-07）七月份（31篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546377.html

[15] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[16] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[17] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[18] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[19] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[20] 2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

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[21] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

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[22] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

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[23] 2024-11-19 22:49，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得、高斯对“算术基本定理”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460799.html

[24] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

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[25] 2024-11-15 22:52，[数学文化] 数学研究的“客观派”正式成立！

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[26] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1443609.html

[27] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

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