Zmn-1225 薛问天: 这个错误太明显，太简单了！评李鸿仪先生的《1224》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1224》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

这个错误太明显，太简单了！

评李鸿仪先生的《1224》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

没想到李先生会犯这么低级的错误，连这么简单的错误都看不出来。无穷集合可能同它的真子集一一对应，这个特性也可以表示为:无穷集合S可能既同某无穷集合A一一对应，又能同A的真子集B一一对应。

什么叫集合S和A间的一一对应，就是在众多的S到A的映射中，存在一个映射f:S→A是双射。什么叫集合S和A的真子集B间的一一对应，就是在众多的S到B的映射中，存在一个映射g:S→B是双射。请问这里的f和g是否要求是同一个映射？显然，众所周知，这里的f和g不能是同一映射，不可能对S中的任何s∈S，有f(s)=g(s)。也就是说由于B是A的真子集，存在有元素a∈A，但a∉B。于是当f(s1)=a时就不能有g(s1)=a。显然如果要求f和g是同一映射就出现f(s1)=a∈A同g(s1)=a∉A的矛盾。

没想到李先生就犯这样的错误。竟然在要求S同A一一对应时的映射f和S同B一一对应时的映射g是同一映射，从而导致矛盾，由此来证明S不能既同A一一对应又同A的真子集一一对应。

看清楚了吧，李先生在证明中所说的矛盾，N1与A能一一对应，N1也能与A中的真子集N一一对应，认为所用的映射是同一映射，从而N1与A中的真子集N一一对应以后，N1中的元素已经用完，没有元素可以与A中的元素0对应，这样N1与A就不能再一一对应，得出矛盾，就是这个道理。犯的就是这个错误。

要知道N1→A用的是映射y=f(x)=x，N1→N用的映射是y=g(x)=x+1。N1能与A中的真子集N一一对应，从而一一对应以后，N1中的元素已被g(x)用完，没有元素s，可以使g(s)等于A中的元素0，但是可以有0∈N1，使f(0)=0，这样N1与A仍然通过f能够一一对应，这两个一一对应可用两个不同的映射。没有任何矛盾。真没想到李先生会犯这么低级的错误，连这么简单的错误都看不出来。

另外，李先生的附录，所证明的【N1和N的元素不可能建立一一对应关系】也是错误的。关键是对数学归纳法认识的错误。

数学归纳法。对谓词P(n)。如果P(0)真，而且对任何k，p(k)→P(k+1)，则(∀n)P(n)，即对所有的自然数n有p(n)。

现在，我提一个问题。大家对其中的结论(∀n)P(n)，即【对所有的自然数n有p(n)】，的含义怎么认识 。其中的【所有的自然数】，可否换成【每一个自然数】，【任意的自然数】，【全体的自然数】。

我告诉大家，正确的答案是完全可以换，而且它们的含义是完全相同的，一模一样，指的是变量的个体属性而不是整体属性。即【所有的自然数】指的是所有自然数中的每个自然数，【全体自然数】指的是全体自然数中的每个自然数，而不是指全体自然数构成的整体集合的属性。这里的含义必须按照数理逻辑全称量词的解释，而不能按语言学上字面含义的内容去随意胡乱解释。任何随意和胡乱的解释都是错误的。

我们可以举个简单的例子。令谓词P(n)表示【集合{0,1,...,n}是有限集。】显然P(0)为真，而且对任何k可证P(k)→P(k+1)，可用数学归纳法证明，(∀n)P(n)，即【对任意自然数n，集合{0,1,...,n}是有限集。】当然，我们也可以说【对全体自然数n，集合{0,1,...,n}是有限集。】但是它的意思是【对全体自然数中的任意每个自然数n，集合{0,1,...,n}是有限集。】并不是证了由全体自然数构成的无限集合{0,1,2,......}是有限集。如果做这样的理解，显然是错误的。

有了以上的准备，我们就很容易发现李先生证明中的错误。因为要认真仔细地写。李先生的证明是这样的。为了用数学归纳法，必须先把谓词P(n)定义清楚。仔细写，P(n)定义为【N[n]={1，2，3，...，n}和N1[n]={0，1，2，3，...，n}，它们的元素不能建立一一对应关系】。显然P(1)为真。而且对任何k，P(k)→P(k+1)。从而由数学归纳法可推出对任意自然数n，(∀n)P(n)，即【对任意自然数n，N[n]和N1[n]它们的元素不能建立一一对应关系】。当然可以写成【对所有自然数n，N[n]和N1[n]它们的元素不能建立一一对应关系】或【对全体自然数n，N[n]和N1[n]它们的元素不能建立一一对应关系】。但它的含义都是【有限集合N[n]和N1[n]不能建立一一对应关系】， 而不是李先生想要证明无限集合N和N1不能建立一一对应关系。所以说李先生的证明是错误的。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】