证明N→R之间的映射是双射

已有 89 次阅读 2024-11-22 20:05 |个人分类:数学基础|系统分类:科研笔记

我在上一篇博文中证明了从实数R到自然数N(R→N)之间的映射是双射。

当然，也很容易反过来证明N→R之间的映射是双射。

命题:从自然数N到实数R的映射是双射。

证明 设f是自变量取值于自然数，因变量取值于[0，1)内的实数的随机函数，第一次取到的实数r1=f(1)与自然数1对应，第二次取到的另一个实数r2=f(2)与自然数2对应......(如果某一次取到的数以前已经正好取到过，这次操作就算作废，必须重新取)，这样我们就建立起了N→R的单射:∀n1，n2∈N(n1≠n2)，➪f(n1)≠f(n2)且∀n∈N，⺕！r∈R，使得r=f(n)  。由于f是随机函数，所以不可能有一个数是永远取不到的，即表达式∃r∈R，∀n∈N 使得 f(n) ≠ r是错的∴其否定式:∀r∈R，∃n∈N 使得 f(n) = r成立，这样我们就证明了从自然数到实数的上述单射也是滿射。证毕