Zmn-1216 李鸿仪 : 无理数的数目为什么远远多于有理数？

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                      无理数的数目为什么远远多于有理数？

                     李鸿仪  Leehyb@139.com

      无理数的数目远远多于有理数，这在现代的数学界是得到公认的。但其真正的原因其实没人搞清楚。人们只知道有理数是可数的，无理数是不可数的，所以无理数比有理数要多。但我在上一篇文章中已经证明了，实数并不是不可数的，所以无理数也不可能是不可数的。

那么，究竟是什么原因使得无理数比有理数多？

     无理数小数的每一位都在0~9之间选取，有理小数则不同。有理小数的结构是:

不循环部分+第一循环节+第二循环节+第三循环节+...

其中的不循环部分与无理数一样，每一位都在0~9之间取值，但从第二循环节开始，每一个循环节都只能重复第一循环节。

       为讨论方便，不妨把在0~9之间取值的小数位称为自由小数位。显然，自由小数位越多的小数，其数目越多。例如，1位小数只有1位自由小数位，其小数数目只有0.0，0.1~0.9共10个，2位小数有2位自由小数位，有0.00，0.01~0.99共100个小数...... n位小数有n位自由小数位，有10n个小数……

      显然，无理小数的每一位都是自由小数位，而有理小数从第二循环节开始都不是自由小数位，因此无理小数的数目比有理小数要多得多，事情其实就是这么简单。

      这才是所谓第一次数学危机的正解, 而到目前为止的所谓危机的解决方案，比如康托引入不可数集的解决方案，戴德金用相对十分稀疏的有理数来定义无理数的解决方案，都是错误的。

在古希腊，人们就发现有理数与有理数中间是存在空隙的，这些空隙只能由无理数来填满。根据自由小数位的概念，不难证明两个有理数之间的最短距离为10-n，式中n为两个有理数中最大的自由小数位。例如，只有1位自由小数位的10个小数与有2位自由小数位的100个小数之间的最短距离是0.01。而无理数有无限多位自由小数位，因此有理数之间的最短距离与无理数之间的最短距离的比值是无穷大，也就是说，填满两个有理数之间的无理数数目是无限多个。

       所以，任何以有理分隔定义单个无理数的方法都隐含了有理数远远比无理数多这一错误假定，不能成立。

      打一个比方，极其大量的无理数夹杂着极少量的有理数，犹如漫漫大海上大量的水分子包围着极少的重水分子，用大量的水分子将重水分子一一隔开并定义重水分子倒是没有问题，怎么可能反过来用重水分子定义水分子？

如果当初的数学危机用本文的正解解决，恐怕数学史要少走不少弯路。

黄汝广等对该文提出了一些看法，在此表示感谢，例如，黄汝广认为：康托实数不可数与戴德金分割不

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康托（[1] G. Cantor. Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. Jahresbericht der Deutaschen Math. Vereinigung , 1890-91,1:75 - 78. ）用对角线构筑了一个数b，其实只能说明实数比小数位数要多(比如说多了一个b)，由于无论实数是否可数，其个数本来就比小数位数多，所以b的存在与实数与自然数是否一一对应，风马牛不相及，一点关系都没有。也就是说，所谓对角线证明了实数不可数，不过是一个历史性的误会。

在区间[0，1)内，我们可以随机取一个数，将其与自然数1对应，再随机取另一个数，将其与自然数2对应......不难发现，采用这种方法，可以将任一实数与自然数对应，从而使得实数与自然数一一对应。

其实，无论是有理数还是无理数，都比自然数多得多，但都可以与自然数建立一一对应关系，说明用一一对应并不能比较元素的多少。原因其实非常简单，就是我在上一篇博文所证明的，作为"基准"的自然数集合并不是唯一的，比如说与有理数一一对应的那个自然数集合和与实数一一对应的这个自然数集合是两个不同的自然数集合。

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