我对《集合论》基本观点的一些质疑、批评和修正

                  李鸿仪  Leehyb@139.com

    摘要:发现并不存在外延固定的无限自然数集合，因此，对于自然数集合，原本用于有限集合的集合元素的确定性不再适用。由此解释了自然数集合的非唯一性。给出了用无限集元素数目的相对多少来比较无限集合大小这一远比基数理论可靠得多的方法。彻底消除了集合论中的传统悖论，比如有理数既和自然数一样多，又比自然数多；偶数既和自然数一样多，又比自然数少；部分既小于又等于全体；一维空间和二维空间的实数点数相同；一个无限旅馆可以既客满又不客滿；存在的东西却不能一一列出等悖论。发现康托所有反直觉的悖论都存在严重的逻辑错误，只是主流数学界没有人有能力指出而已。例如，所谓对角线证明，不过是混淆了行标和列标这一十分低级的逻辑错误所致。

引言

人类对无限问题的思考和讨论已有几千年的历史，但从来没有完全统一过认识，例如，潜无限和实无限的争论就始终存在。

无限集合的概念必然建立在无限观基础上，当无限观还没有完全统一的时候，无限集合的概念是不可能完全成熟的。

数学界似乎过于急切地把并不成熟的关于无限集合的理论编入教材了。如果这是为了引起学生的注意和讨论，倒是很不错的。然而，如果学生一讨论就会影响教学秩序，于是又不得不压制学生的讨论，形成了一定程度上的不允许质疑权威，压制学术探讨的类似于中世纪的宗教氛围，这就非常不好了。所以我一再呼吁教育部要暂停在本科和高中教学中进行无限集合部分相关内容的教学。

     一个人，一个团体，甚至一个国家科研能力的强弱很大程度上取决于其批判性思维能力和创造性思维能力。

     上个世纪六、七十年代，我因和人们讨论未来的无人工厂(类似于现在的特斯拉工厂和洋山港无人码头)的剩余价值来源于哪里这一问题而开始逐渐形成了自己的哲学体系，并总结于《科学整合之初探》一文。该文认为科学是描述世界的一个概念体系。这里的世界既包括客观世界，也包括主观世界。例如，物理学，化学等描述的是客观世界，心理学描述的则是主观世界。在数学中，欧氏几何描述的是客观的二维，三维空间，黎曼几何描述的是欧氏几何的扩展，罗氏几何描述的则是欧氏几何在人的视觉中的主观印象:由于远小近大等视觉效应，实际上并不会相交的平行线，在足够远处，看起来是相交的，恰与罗氏几何一致，因此，罗氏几何其实描述了视觉中的欧氏空间。不过，数学家主观上所要描述的世界和他(或她)实际所描写的世界并不一定始终是一样的。以罗氏几何为例，罗氏本人原不过是为了用反证法证明欧氏几何中看似不够显然的第五公设，失败后突发奇想，干脆把所想推翻的平行线相交的假命题视为真，从而建立了罗氏几何。他本人及后来的数学家都没有想到他其实只是把描述的客观世界变成了人的视觉中的主观世界而已，并没有改变世界的本质，可以说是歪打正着。这种歪打可能正着的现象，其实对数学家是很有正面鼓励意义的:用这种方法，数学家有可能走在物理学家前面，更早地探索未知世界:某一个有用但看起来似乎是奇怪的新数学分支有可能描述了一个人们所未知的世界，例如，黎曼就先于爱因斯坦不自觉地探索了宇宙空间。不过，如果不能正确地解读新建立的数学理论，也可能导致副作用。例如，罗氏几何的建立使人们误以为命题的真假并无定规，例如，平行线可以相交，也可以不相交。这种想法使得人们思想的自由度大大提高，但是却也埋下了盲目接受错误和自相矛盾、甚至分不清是非的隐患。例如，本文将证明，康托所有反直觉的命题都存在着严重的逻辑错误，但是现代的主流数学界却没有人能看出这些错误，从而误以为这些反直觉的东西都是对的，而直觉反而变成不可靠的了。

既然科学不过是描述世界的一个概念体系，那么，科学中的每一个能够最终在历史的长河中留下印记的概念就都必须在其要所描述的世界中有其原型。例如，黎曼几何就在广义相对论中找到了原型。但笔者发现，集合论中的基于实无限观的基本概念:"一个外延固定的无限自然数集合"的存在会导致各种自相矛盾的结果，这就证明(反证法)了它是不存在的。用这种不存在的概念当然无法描述世界。这是集合论中所有反直觉命题的错误的根源。

1 存在外延固定不变的无限自然数集合吗？

    通常，将以自然数1，2，3...为元素的集合称为自然数集合(有些书上把0也包括进去)。。

    上述定义很明确且不变，因此，通常认为自然数集合的外延也是固定的。

    例如，有的人认为，在自然数集合的形成阶段，自然数加1的过程是永远不能完成的。但是一旦形成了自然数集合，自然数集合就包含了所有的自然数，这样的自然数集合的外延当然是确定不变的。     这句话显然是自相矛盾的:既然自然数集合的形成过程永远不能完成，又何来已包含了全体自然数的自然数集合？     也有的人认为，自然数的生成规则是确定不变的，因此自然数集的外延也是确定不变的。这里要注意，根据外延公理，所谓外延，是指集合的所有元素，而不是集合元素的生成规则。对于有限集合，由于其外延的范围是明确不变的，因此，当元素的生成规则确定时，所有元素也就确定了，外延当然也就确定了。 但对于无限集合，此规律是否仍然成立？是需要证明的。以自然数集合为例，只有当集合元素的增加过程完成了，形成了全体自然数，即自然数再也不增加了，也没有其他自然数了，才能够说它的外延确定了，而这是不可能的:自然数加1的过程永远不能完成。

    当然，如果自然数集合的外延是固定的，处理起来当然非常方便。然而，科学研究的是事实，把希望当事实，或者为了方便而扭曲事实，都是幼稚可笑的。

    数学是严格的，除了不证自明的少数原始命题外，任何命题都必须有严格的证明，而不能仅凭想当然。

    仔细的考察可发现，自然数集合的无限性在于且仅在于每个自然数都有后续数，即自然数的元素可以通过加1不断增加，即其外延是不断扩大的。这样我们已经证明了。

    自然数集合无限性的充分必要条件是其外延是在不断扩大的。

    例如，一旦外延不再扩大，即加1过程停止，即某一个自然数不再有后继数，这个自然数就成为集合中的最大自然数，显然，这样的集合是一个有限集合。

      因此，自然数集合的外延是不可能固定的。

     由此可见，所谓集合元素的确定性只能用于有限集合，而不能用于无限集合。

     由于无限集合的外延在不断扩大，因此必须从动态的角度来研究无限集合，而不是像有限集合那样只要从静态的角度来研究就可以了。这是无限集合和有限集合最大的不同。对于无限集合，必要时可以引入时间坐标。

     前几天我偶然发现，当我问《文心一言》:"存在外延固定的无限自然数集合吗？"这一问题时，发现它的回答也完全与书本知识不一样(见附录)，而和我的学术观点完全一致。究其原因，在于它搜到并采纳的文章主要是我写的:在这些文章中，我用反证法证明了自然数集合的外延是不能固定的。

     但是AI并不完全是根据收集到的文章来回答问题的，比方说它也收集到了反对我的学术观点的文章，但是并没有采纳。这是因为，AI虽然有时会在一些具体问题上犯一些低级错误，但倒是懂逻辑的，有能力从逻辑上判断哪些是对的，哪些是错的。   

     作为一个演绎体系，牵一发而动全身。基本原理变了，什么都变了。    例如，既然自然素集合的外延是不固定的，不同的外延就可能对应于不同的自然数集合。于是就存在下列问题:

2  自然数集合是唯一的吗？

    既然自然数集合的外延是不确定的，就没法证明自然数集合是唯一的。这是因为，如果要证明自然数集合是唯一的，首先必须保证集合的外延是确定的，这时就很容易根据外延公理证明自然数集合是唯一的:假定有两个不同的自然数集合N和N*，则对于任何一个属于N的元素，必然也属于N*，反之也一样，说明这两个集合是同一个集合，因此不存在两个不同的自然数集合。但如果无限自然数集合的外延本身就是不确定的，上述推理显然就无法成立:既然集合的外延是不确定的，如何保证某一个元素一定属于或不属于某集合的外延？所以当无限自然数集合的外延是不确定的时候，没有人能够证明自然数集合是唯一的。事实上，存在着大量并不相同的自然数集合。例如，如果将

N定义为{1，2，3....}，将N′定义为{2n-1，2n丨n∈N}，

    显然，它们的元素都是递增的正整数，因此都是自然数集合，

    以下将看到，它们是大小不同的两个不同的自然数集合。那么，如何比较它们的大小？

3  比较无限集合的大小应该用基数还是元素数目？

    如前所述，自然数集合的外延是在不断扩大的。在扩大过程中，由于N中每增加一个元素，N′就要增加两个元素，因此，在任何时刻，甚至不管外延扩大所需要的时间是有限的还是无限的，N′的元素数目永远是N的两倍。它们的外延不同，当然不是同一个自然数集合。 这里，元素数目定义为对元素进行计数得到的结果。对无限集合，由于其元素数目是无限多的，所以我们不可能给出任何一个无限集合元素数目的具体数值，但这并不意味着对无限集合来说，元素数目这个概念是没有意义的。比如说，要比较两个无限集合的相对元素数目是轻而易举的(如上例，详见The Method by the Definition of Sets to Compare the Relative Number of Elementshttp://vixra.org/abs/2306.0116)。显然比所谓的基数理论要精确可靠得多。比如说对基数理论来说，上述两个集合的基数是一样的。但是他们的元素数目并不一样，因此没有任何理由可以认为他们的大小是一样的。由此可见，康托的一一对应并不一定可靠。

    以N1={0}UN为例，由于集合的外延在不断扩大，而在扩大过程中，N1永远比N多了一个元素，即N1中永远有一个元素在N中没有原像，两者不可能建立双射关系。

    由此可见，当且仅当两个集合的元素数目是精确相等的时候，它们之间才能建立严格的一一对应。

    通俗地说，所谓一一对应，就是一个萝卜一个坑，萝卜数和坑数不同，怎么可能一一对应？

   自然数集合既然不是唯一的，所有建立在自然数集合是唯一的这一基础上的所有命题就全都错了(详见  The Non-uniqueness of the Set of NaturalNumbershttp://vixra.org/abs/2310.0054 )。不过，很多以前难以解释的反直觉的东西，现在反而都可以完美地解释了。例如

4 有理数和自然数一样多吗？

      康托确实巧妙且可靠地证明了有理数集合可以与自然数集合一一对应，因此，自然数和有理数的数目似乎一样多。

      但该结论显然是反直觉的:有理数当中包含着自然数，即自然数只是有理数中的一部分，部分怎么可能等于全体？两者怎么可能是一样多的呢？ 

     在笔者之前，其实从来没有人能够真正令人信服地把这个问题说清楚。现在这个问题却完全可以解释了:既然自然数集合不是唯一的，就没有理由认为与有理数集合一一对应的那个自然数集合就一定是有理数集合中包含的自然数真子集，既然它们不是同一个集合，元素数目不相同就再自然不过了，矛盾也就不存在了。

5  存在伽利略悖论吗？

     同理，既然自然数集合不是唯一的，偶数集合当然也不是唯一的，也没有理由认为与自然数集合一一对应的那个偶数集合一定是自然数集合中包含的偶数真子集，这样，延续了400年之久的所谓伽利略悖论也就不再存在了。

6  无限集合能与其真子集一一对应吗？

    既然上述矛盾都不再存在，为了勉为其难地解释上述矛盾的所谓无限集合可以与其真子集一一对应的这一明显反直觉的命题当然也就不需要了，全体等于部分这一悖论也被消除了。

    如前所述， 只有当两个集合的相对元素数目精确相同时，才能建立严格的一一对应，而任何集合的真子集，仅仅是原集合的一部分，元素数目的相对值不同，怎么可能建立一一对应？

因此，这是世界上错得最明显、最荒谬的的一个数学命题，居然被康托及其追随者视作"一点矛盾也没有"的科学真理。其思维的荒谬程度已经是登峰造极了！

7 存在全体自然数吗？

由于自然数集合不是唯一的，所谓全体自然数这一概念也不再成立:不同的自然数集合所包含的自然数不同，哪一个才是全体自然数？更具体地说，自然数的数目可以通过加1不断增加，加到哪一个就包含了全体自然数而不再增加了？显然，没有一个人能找出这样的数。

8 无限小数的小数位数是一样多的吗？

所谓无限小数，是指小数位数无限多的小数。由于小数位数只能用自然数来标号，而自然数集合的元素数目恰恰也是无限多的，所以可以把无限小数定义为其位数与自然数集合一一对应的小数。由于自然数集合不是唯一的，与自然数集合一一对应的无限小数的位数也不是唯一，即可以有不同位数的无限小数，例如，抽取一个无限小数A的偶数位得到的也是无限小数(不妨用B表示)，但B的小数位数显然只有A的一半。

9  一维空间和二维甚至多维空间的实数点是一样多的吗？

     因混淆了上述AB的区别而导致的所谓一维空间和二维甚至多维空间有相同多的实数点这些明显荒唐的、反直觉的东西，也就都不再成立。

10 不同周长的同心圆上的实数点为什么是可以一一对应？

    从中世纪开始，人们就无法解释为什么同心圆的周长不一样，但是上面的实数点却可以一一对应。根据无限小数位数的不唯一性可以很完美地解释上述现象:不难证明，假定大圆的周长是小圆的两倍，那么小圆的小数(二进制)位数比大圆的小数位数多一位。

       当然，以圆周率为例，由于其小数位数是无限多的，所以我们不能确定它究竟有多少位小数，但是当其位数趋向于无穷大时的极限却是确定不变的。

11 ∞+1=∞？存在无限旅馆悖论吗？

     由此可见，与大数学家希尔伯特的无限旅馆悖论相契合、但从来没有人严格证明过、却被数学界和哲学界广为接受的"∞+1=∞″是错的！

    通常，将无限大∞视为数列发散的符号。但由n→∞时，lim n=∞中等号右端∞的定义可见，∞实际上不过是一个无界的递增变量的比任意大值更大的取值(以下称为足够大的取值)，当然可以参与各种运算，而∞+1>∞显然不符合任何运算规则。       

    由于无界递增变量的任意取值都是有限值，所以所谓无限大∞的本质不过是足够大的有限值。                

    事实上，在无限旅馆中，虽然房间数和旅客数都是无限大，但旅馆是不是客滿，只取决于它们的相对值:当这两个无限大的相对值相同即差值为零时，就说明已经是客满了，这时候是不可能再住进其他人的，因此不存在既客满又不客满的可能性:

    当房间数和旅客数的相对数量相同时，尽管房间数能无限增加，但是旅客数也必然同步增加(否则就不能说相对数量相同)，怎么可能通过排列房号变客满为不客滿？

    在希尔伯特做思想实验的时候，他只看到了已客滿的旅馆的房间数仍可以无限增加、而没有看到这时旅客数也必须同步增加才能保证旅馆仍然客满这一点，实际上在潜意识中是假定房间数是可以无限增加的，而旅客数是不变的。这是因为，只有在该假定下，才可以通过把1号旅客换入2号房间，2号旅客换入3号房间......等操作而空出房间，显然该假定是一种毫无道理的学术双标，不能成立。

   从数学分析的角度来看，无论是房间数还是旅客数，都只能用自然数n来表示，很容易证明，当n→ ∞ 时，∵ n+1-n=1﹥ 0，∴ n+1﹥ n，得不出∞+1=∞ ！

     没有经得起反复推敲的严格证明就开始想当然，甚至把"既客滿又没有客滿"的自相矛盾当做科学真理，这是人类思想史上的奇迹还是耻辱？抑或根本就是奇迹般的耻辱？

12 对角线证明了实数不可列吗？

     直觉告诉我们，任何存在的东西，不管是有限的还是无限的，总是可以一一列出的，最多就是列不完而已。因此，存在所谓不可列集合似乎也是反直觉的。    在对角线证明中，实际上也是假定自然数集合是唯一的才能进行的(详见:Equality Hypothesis in Diagonal Argument,http://vixra.org/abs/2401.0042)。    在对角线证明中,先根据可列假定将小数一一列出，

x₁，x₂，x₃......

    (这里要注意所谓一一列出与全部列出是有区别的。例如，我们可以一一列出自然数，但我们永远不可能列出全体自然数，这是因为，如前所述，根本就不存在全体自然数这个概念)

   设

x₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃......

x₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃......

x₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃.......

....

并设

b=b₁b₂b₃...

式中

b_j≠a_jj，(j=1，2，3...)

则

b≠x_j，(j=1，2，3...)，

似乎与可列假定矛盾:b并没有列出来！

   康托这里的错误在于把行标i和列标j混为一谈了。

   要严格区分小数矩阵[aij]中元素下标i和j的区别:ⅰ表示的是与小数个数一一对应的自然数集合(行标集)的元素，j表示的是与小数位数一一对应的自然数集合(列标集)的元素。根据自然数集合非唯一的原理，除非有严格的证明，否则就没有理由认为这两个集合是同一个自然数集合。 事实上，以二进制小数为例，每一位小数可以在0和1之间取值，也就是说，列集每增加一个元素，行标集的元素数目就要翻倍，因此行标集是比列标集大得多的自然数集合，而所谓可列假定不过是假定小数与行标集元素i一一对应而已，而与列标集元素j能否一一对应毫无关系。

    事实上，b的存在证明且仅证明了小数个数i永远大于小数位数j而已，即行标集比列标集大，故小数不能与列标集元素j一一对应而已，而与小数是否与行标集元素i一一对应即与可列假定的真假，"风马牛不相及"，一点关系也没有，当然所谓矛盾也无从谈起，即对角线证明并没有证明实数不可列。

    康托在这里完全混淆了行标集与列标集的区别:把小数不能与列标集一一对应说成是不能与行标集一一对应，连下标的数学意义都分不清，还有什么是分得清的？这在本质上不过是一个十分低级的逻辑错误而已。

     如此反智的证明，在大人物罗素和希尔伯特的带领下，主流数学界甚至哲学届居然还要大加赞赏！

13 康托定理的本质是什

   由于自然数集合的外延是在不断扩大的，自然数集合的幂集的外延当然也是在同步不断扩大的。但是根据幂集的定义，在任何时刻，幂集的元素永运是比自然数多的，所以康托定理实际上是不证自明的。     用自然数集合的非唯一性也可以解释康托定理:与集合A的幂集P(A)一一对应的自然数集合与A一一对应的自然数集合是两个不同大小的自然数集合。

14直觉和逻辑的关系应该是怎样的？

   由于我证明了康托所有反直觉的命题都是错误的，数学史上关于这些反直觉命题了真假的争论也就毫无必要了。比如，所谓直觉主义和逻辑主义的争论就变得毫无意义:除了错觉以外，直觉和逻辑本来就应该是统一的:逻辑的意义在于可以用来解释并不是错觉的直觉，并将其触角伸到直觉无法到达的领域，两者并没有矛盾，没有必要形成对立的两个哲学流派，数学史和哲学史都走了一个大大的弯路。.

 15  正确的无限观应该是怎么样的？

       可以通过一个思想实验来回答这个问题。

       假定每增加一个自然数所需要的时间为无限小，甚至为零(用计算机计算是需要时间的，但是人想一下未必需要时间)，问时间t=1，2，3...秒时，各增加了多少自然数？

        由于任何一个有限数除以无限小都等于无限大，所以上述各时刻都增加了无限多个自然数，即自然数的数目都达到了无限。另一方面，由于自然数是永远用不完的，所以时间t也并不会停下来，而可以无限延续下去。所以无限可能达到，但不会完成。

     这里之所以要用到可能两字，是因为有些计算离不开计算机，所需要的时间不是无限小，比如说多计算圆周率的一位小数，必然要耗费一定的机器时间。显然，在这种情况下，是达不到无限的。

      无限可能达到，但永远不能完成。这就是科学的无限观。    

      容易证明:当且仅当无限无法达到时，极限是不可达的。因此，极限是可能达到的，极限定义中任意小的正数ε，是可能等于零的。

      当然，极限可能达到并不等于极限一定能达到，也不等于极限必须达到。例如，如果极限为零又出现在分母上，就可能导致一些问题。

     在科学的无限观面前，无论是潜无限还是实无限，恰如盲人摸象，都是片面的。

     容易看出，本文就是建立在科学的无限观基础上的:一方面反对并证伪了无限可以完成，另一方面又承认无限和极限是可能达到的。

    由于无限可能达到，很多悖论(例如芝诺悖论)也就不存在了。

    致谢:在本文发布的48小时内，网名为天长地久，MAN，hrg等群友参与了讨论，对本文的进一步修改和补充有一定帮助，在次表示感谢。

...........后记   

    目前，主流数学界已经存在着很严重的自我封闭现象。不要说数学家和教师了，即使是刚开始学习极限理论的大一学生娃，一看到和书本知识不一样的质疑或理论，就充满自豪地以主流数学界自居，斥之为"民科"。在他们心目中，能够进入书本的知识都是高大上的主流知识，其余的一律都是乡村野夫的陋见。     为了证明自己是主流界，甚至一些资深数学界学者也把自己封闭起来，害怕与"民科"有染。     事实上，科学正是在质疑中前进的，书本知识也永远在变化着。相反，如果认为书本知识就是真理，且在石器时代就有书本知识，恐怕现在乃至将来，人类的知识水平将永远处于石器时代。

    由于这种较为严重的自我封闭现象，主流数学界已经病入膏肓。如果没有外力拯救，恐怕难以自我康复。

     我是教热力学的，虽然不是数学专业，但所发表的文章中数学论文占了半壁江山，其中也有被SCI收录的数学文章。1998年，我的英文名Lee Hong-Yi 被"Who′s Who in the World " 收录。在那个年代，只有极少数中国人被收录于该世界名人录。 ​   热力学也是一个严格的演绎体系，而且热力学的每一个命题都要直接受到实验事实的检验，所以在热力学中，不可能存在任何错误或悖论，实际上比数学要严格得多。

     对于习惯于热力学严格思维的人来说，集合论中的思维实在是太随意，太不严谨了，错误和悖论也实在是太多了:例如很多命题并没有严格的证明，就想当然地把它看作是正确的，再比如一些很基本的概念，比方说行标和列标也会搞混。

    对于具有严格思维能力的人来说，往往可以一眼就发现集合论中的错误并知道其错在哪里，大有一种类似于外星人观察地球人时的降维观察的感觉。

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 附录，我与文心一言的对话。 

  问:存在外延不变的无限自然数集合吗   

   回答:不存在外延不变的无限自然数集合。

   这一结论可以通过以下逻辑推导得出：

      命题与证明命题1：外延不变的自然数集合是有限集合。

    证明：自然数的可比较性：自然数是可以比较大小的。最大自然数的存在性：在一个外延不变的自然数集合中，由于集合的外延（即集合中元素的数量）是固定的，因此可以通过比较大小找出其中的最大自然数。有限集合的判定：能够找出最大自然数的集合，其元素数量必然是有限的，因为无限的自然数序列中没有最大数（这是通过反证法证明的：假定有最大数m，则m+1也是自然数且比m更大，与m是最大自然数矛盾）。推论推论：不存在外延不变的无限自然数集合。

分析与讨论

    自然数序列的无限性：自然数序列是无限长的，因为对于任意给定的自然数n，总存在比n更大的自然数n+1。这意味着自然数集合不能是外延不变的无限集合，因为一旦其外延（即元素数量）固定，就意味着集合中的自然数数量是有限的，这与自然数序列的无限性相矛盾。

集合论的基本信念：

    虽然集合论中存在一个由全体或所有自然数组成的无限自然数集合的基本信念，但这样的集合在现实中是不存在的。因为一旦这样的集合存在，其外延（即包含的自然数数量）就将是确定的，从而违反了自然数序列的无限性。

      科学中的信念与证明：在神学和宗教中，信念是基础；但在科学中，信念不能成为基础。科学需要严格的证明和推理来支持其结论。因此，关于自然数集合的无限性和外延不变性的讨论必须基于严格的数学证明。综上所述，不存在外延不变的无限自然数集合。这一结论是基于自然数的可比较性、最大自然数的存在性（在有限集合中）以及自然数序列的无限性得出的。文心3.5科学