（一）线性稳定性理论的发展历史

线性稳定性理论的原理是针对层流的二维流动或者轴对称流动，分析小扰动所引起的流动稳定性，后来这个方法从原理上也被扩展到了三维流动。这个工作起源于Rayleigh(1880)对无粘流动的研究工作，后来Orr(1907)和Sommerfeld(1908)把它扩展到了粘性流动中。Taylor(1923)最早在两个同轴圆柱间的流动研究中，获得了极大地成功（图1）。

图1 Taylor-Couette流动中随着Re数增大层流线性失稳引起Taylor cell. (a) 层流Couette流动；(b) Taylor cell; (c) Wavy cell pattern. 这三个图都是层流流动。(图片来自R. J. Donnelly,Physics Today (1991)）. 线性稳定性理论能够精确预测从(a)到(b)的临界Re数。

在上个世纪，线性稳定性理论，在研究层流到湍流的转捩的问题中，曾得到广泛应用。其原因主要一是因为没有任何其他理论可以应用，二是那时人们就认为是线性稳定性问题导致了湍流，三是因为这个理论是一个数学上精确的理论。后来，人们发现线性稳定性理论，多数情况下，不能预测湍流转捩，理论预测与实验不一致，对这个理论就没有那么重视和依赖了。如对圆管流动和平面Couette流动，线性稳定性理论计算是永远稳定的，但实际上它们都会在有限的雷诺数下发生湍流。对槽道流动，线性稳定性理论计算的临界Re数是Rec=5772，但是实际上湍流转捩发生在Rec=1000，如表1所示 【1】。对所研究的这些流动，理论与实验结果不能取得一致。著名湍流研究专家、加州理工学院的Liepmann教授曾说过，稳定性理论研究了半个世纪，对理解湍流几乎没有什么用途。

表1 线性稳定性理论预测的临界Re数与实验值对比，表格来自文献【2】。第三列是线性稳定性理论的结果；第四列是Reynolds-Orr (1907)的能量方法的结果；第五列是实验结果。

在线性稳定性理论这条线上，一直是一批牛人在从事这些工作，如Kelvin 1871, Helmholtz 1868, Rayleigh 1880 (诺贝尔奖获得者)，Orr(1907)，Sommerfeld(1908)，Taylor 1923, Hesienburg (海森堡) 1924（诺贝尔奖获得者），Tollmien 1929, Schilichting 1936, Lin CC （林家翘）1944, Schubauer and Skramstad 1947, John von Neumann 1952, Shen SF 1954, Chandrasekhar S 1961（诺贝尔奖获得者），Davey and Drazin (1969)，Davey (1973)，Orszag 1971，Orszag and Patera (1980)，等人。这些工作都是开创性的工作，也是当时最受关注的难题，影响非常大，所以就认为非常重要。在后来的湍流转捩的问题研究中，人们逐渐发现，线性稳定性理论与大部分湍流转捩的实验数据不相符，即湍流转捩不是小扰动方程的特征值的问题，尽管直到现在还有一些人认为壁面湍流是线性失稳机理在起作用 （参见JFM近些年的文章）。

作者本人认为，所有湍流产生和维持的行为都是非线性影响的作用，层流线性失稳不能产生湍流。比如T-S波本身就是线性波，只能引起一种层流变为另一种层流，它不会导致湍流产生。T-S波后来发展的弥散波dispersive wave是非线性波，当它发展到能量足够大时，就会引起流场奇点而导致湍流发生 【2】。

线性稳定性理论的工作，这里面，最出名的就是林家翘先生【3】，在冯卡门指导下，他1944年成功解决了海森堡博士论文没有解决的槽道流动问题，一炮打响，震动了整个学术界。他解的是Orr-Sommerfeld方程，用的是渐进分析方法，1944年得到的临界雷诺数是8000，1946年改进算法后得到的临界雷诺数是5314，这个值接近于后来1971年Orszag用谱方法得到的精确值5772。美国物理学会1973年把第二个Otto Laporte Award 奖颁给了林家翘先生，1979年又把第一个Fluid Dynamics Prize 颁给了他。其他的著名湍流专家Liepmann, Corrsin，Kraichnan，Klebanoff，Emmons，和著名的Lighthill等人得奖都排在他的后面，著名湍流实验专家，T-S波的实验发现者之一 Schubauer 1988年才获得这个奖项。林家翘先生这样的天才，在线性稳定性理论工作完成之后，他说觉得湍流问题太难了。1960年后他就放弃了湍流，就去做天体物理去了，与他的学生徐遐生一起，创立了星系螺旋结构的密度波理论。

作者认为，林家翘先生预测的线性稳定性的临界值只是层流线性失稳的临界值，与湍流转捩没有直接关系，因为湍流转捩是非线性的问题。对一个层流，在流动线性失稳的临界值后，产出的是另一种层流，并不是湍流【2】。在那个时候，由于数据有限，认识的限制，大家认为，线性失稳后就是湍流。以至于作者读研究生的时候，把流动失稳和湍流转捩理解成了同义词，在许多书籍和文献里就是这样描述的。

图2 平板边界层流动中的从层流到湍流的转捩(图片来自White 1991)。 

线性稳定性理论的最大成功是1947年，Schubauer and Skramstad（美国人）在边界层实验中，成功发现了Tollmien-Schlichting （德国人）（T-S）波（一种二维波）的存在及其线性失稳（图2）。因为T-S波理论上是德国人提出的，实验中是美国人发现的，后来还引起争议，美国人曾想过把这个波的名称改为TSSS波。从那时起，人们认识到T-S波在边界层转捩中起着非常重要的作用。然后的50年中，人们从理论、计算、实验各个方面都对T-S波影响展开了深入的研究，得到了深入认识。然而，T-S波只是边界层转捩过程中的前半部分起作用（已经理解了），其后半部分是非线性发生作用，包括了Lambda波的产生，波尖的升起，发卡涡的形成，湍流斑产生，直至完全发展的湍流。实际上，真正决定湍流转捩能否发生的是非线性阶段，就是湍流斑能否产生。到现在为止，这还是没有完全理解的部分。

图3 根据线性稳定性理论得到的用于平板边界层流动湍流转捩预测的e(n)方法 (图片来自White 1991)。

虽然线性稳定性理论只能预测小扰动方程的特征值，但是在一些特殊的情况下，还是有一定用途的。线性稳定性理论在扰动非常小的情况下，对平板边界层、机翼和半锥几个特殊的外流流动，导致了一种工程方法，就是e(n)方法，n=6~10, 来近似预测特殊情况下外部流动的湍流转捩，图3。这是因为对这些特殊的流动（边界层增厚），转捩流动的后半段流向距离特别短，一旦发生线性失稳，非线性作用很快就会激发，湍流转捩很快就会发生，这样这种方法就显得有用途，但是这只是一种近似的工程方法 ，并不能解释湍流转捩的物理机理，不能解释在临界雷诺数，流体内部发生了什么【4】。

作者认为，对自然界和工程中的一般情况（上述特殊情况例外），线性稳定性理论不能用来预测湍流转捩。线性稳定性理论预测的线性不稳定性表达的内涵与湍流转捩完全是两回事。只有非线性理论才能解释、理解和预测湍流转捩【2】。

（二）对线性稳定性理论进行的各种修补 

由于线性稳定性理论预测的湍流转捩临界条件与实验数据不符，相差很大，甚至定性不符（见表1），大量研究人员，考虑了一些可能得影响因素，对这个理论进行了补充研究及修补，试图在线性稳定性理论的框架下面解决湍流转捩的问题，可是因为没有抓住问题的关键，这些修补都没有成功，请见下面。

（1）线性三维机理（Linear 3D mechanism）: Orszag and Patera (1980)提出了，以前的线性稳定性理论分析，都是基于2D流动，分析也是2D分析，他提出了流动失稳的线性3D失稳机理，试图能够得到与实验数据接近的结果，可是对槽道流动，最后得到临界雷诺数为2900，比1000还是高出不少。

（2）瞬态增长（Transient growth）: Trefethen,Schmid,Henningson（1988-2007左右）等人，认为线性稳定性理论预测结果与实验不一致的原因是，通过小扰动得到的线性稳定性的Orr-Sommerfeld方程的向量基不正交，引起瞬态增长，导致了扰动幅值增长，使得湍流转捩提前发生。可是预测结果仍然不能与实验一致，也没有得到湍流转捩的准则。

（3）二次不稳定性(Secondary instability): Herbet（1983,1988），Orszag等人（1988）认为，TS波失稳后形成了三维的流动，从这个三维的层流流动到湍流转捩的过程中，是又一个过程的不稳定性在起作用，称之为“二次不稳定性”，这个二次失稳，是指的线性失稳，并不是非线性失稳。

（4）自持过程(Self-sustenance process): Wallefe（1995,1997）等人提出了横向扰动的自持过程，认为壁面附近展向的速度分布（低速条带结构）引起了流动的线性失稳，引起了湍流。本文作者指出，根据实验数据，根据作者的能量梯度理论，引起壁面附近湍流自持过程的是流向速度在壁面法线方向的梯度及其剪切层的非线性不稳定性诱发了奇点而产生的。

作者本人认为，所有上面这些修改和描述，都是基于线性稳定性理论，没有引入非线性的影响，不能反应湍流转捩的本质，是与实验事实不相符的。因此，线性稳定性理论与实验结果不能达到一致。湍流转捩终究是非线性作用形成的，无论线性稳定性理论怎么修补，也得不到与实验相符的湍流转捩的准则，普遍意义上讲，都是不能预测湍流转捩的。对于湍流转捩，理论上给出的模型或者准则，必须与转捩当时流动内部(u,v,w,p)发生的事件一致才行。

（5）旁路转捩(Bypass transition): 因为在内部流动中，起始扰动较大，大多数情况下没有发现是TS波的发展，引起了后续的湍流转捩。为了解释这种情况，1970s’年代起，人们就起了一个新名词“旁路转捩”，至于旁路转捩的物理机理到底是什么，也从来没有人解释清楚，只是有的人建议它是由于大的扰动引起，因此，就认为是非线性作用导致了“旁路转捩”。

作者指出，不管是初始流动由TS波引起的线性失稳开始，最后经过什么若干过程，流动最后发生了湍流转捩（称为自然转捩）；还是初始流动由大的扰动导致的“旁路转捩”，其最后的湍流转捩的临界条件是不变的，是唯一的，即湍流转捩是由流场的奇点(速度的间断)所导致的【2】，如图4所示。

图4 平面Poiseuille流动和平板边界层流动中层流到湍流的转捩过程，这是实验总结的picture【5】。湍流转捩必须通过奇点（速度间断，即负的spikes），它是湍流里面最大漩涡的生成方式，即K41定律里曲线最左端部分“能量输入区”的根源所在；是从平均流动向流动脉动转移能量的主要途径。转捩区是这样的，完全发展的湍流区，用高清晰度的方式显示一下，也是这样的，只是幅值、频率与间歇区宽度不同。

层流到湍流的转捩，无论什么样的初始条件，自然转捩还是旁路转捩，都必须通过奇点。举个例子，你从辽宁省驱车奔向秦皇岛市，无论你是从阜新市、沈阳市、鞍山市、还是营口市启程，最后你都必须经过山海关，道理就是这么简单。

（三）线性稳定性理论和湍流转捩 

(下面内容由电脑翻译自文献【2】的第5章第3节。 线性稳定性理论的基础部分在第3章)。

在过去的100年里，线性稳定性理论在流动稳定性和湍流转捩的研究以及流动控制中发挥了非常重要的作用。对于某些流动条件，如瑞利-伯纳德流动、泰勒-库埃特流动和自由混合层流动，用线性稳定性理论预测的流动不稳定性结果与实验结果吻合良好 （注：这里预测的线性不稳定不是湍流转捩，而是另一种层流的开始。许多教材对此事没有讲清楚）。对于平板上的边界层流动，临界雷诺数的预测在定性上仅与实验数据接近，数值上差异仍然很大。而对于平面Poiseuille流动，线性稳定性理论的预测结果与实验数据在临界雷诺数方面存在较大差异。

一种观点认为，非线性效应在扰动的发展过程中起着重要作用，最后才导致湍流转捩。这一效果可以看作是流动不断修改基本流动的速度剖面（Luo等人，2005年），从而改变速度剖面流动稳定性的行为。

事实上，非线性效应对于层流向湍流的转捩是必要的，因为转捩临界条件下的机械能分布与层流基本流动的初始轮廓有很大不同。这种变化需要由非线性作用来实现，以传递机械能来修改平均速度剖面。湍流转捩需要重新分配总机械能（Landahl和Mollo-Christensen，1992年；Sengupta等人，2003年）。（注：重新分配机械能必须依靠非线性作用）。

对于给定的基本流动，当层流开始发生不稳定时，它有可能会变成湍流，也可能会变成另一种类型的层流，这取决于雷诺数大小和扰动特性。实际上，湍流转捩不是层流线性不稳定性的直接结果，而是由非线性不稳定性产生的。只有当不稳定性导致奇异性时，才会导致湍流。如果层流的不稳定性不会导致奇异性的发生，那么在不稳定性出现后，层流将成为另一种类型的层流。这在平板边界层流动和Taylor-Couette流动的实验中已经清楚地看到。因此，线性稳定性理论不能预测湍流转捩的开始是符合事实而且是合理的。

对于槽道流动，线性稳定性理论计算的给定光滑的层流速度剖面的特征值，预测的小扰动引起的不稳定性，临界Re数为Rec=5772（Orszag 1971）。而实际上，对于给定的畸变的速度剖面（Dou 2021a），湍流转捩是由非线性不稳定性（具有有限振幅扰动）引起的流速间断引起的。根据实验，槽道流动湍流转捩的临界Re数为Rec=1000。从光滑层流速度剖面的线性不稳定性到湍流转捩发生，需要经历几个过程，例如最初的线性失稳、沿展向的波浪变化、轴向旋涡的形成、流体微团沿展向的拉伸、高剪切层的形成，旋涡的三维发展和速度剖面的畸变或速度亏损。因此，流动从线性不稳定性向湍流转捩仍有很长的时间和空间。因此，Orr-Sommerfeld方程的解不能用于预测湍流转捩。Lumley和Yaglom（2001）提到“当然，线性小扰动稳定性理论与充分发展的湍流之间的联系很遥远，这是半个世纪前主导这一领域的稳定性理论。”此外，从无粘流动分析中获得的瑞利拐点准则与湍流转捩条件相差甚远，因为粘度是湍流转捩的关键因素。在无粘流中，没有粘性就不能形成速度间断（奇异性），因此在无粘流动中不能产生湍流。因此，瑞利的拐点准则对于评估湍流转捩是无用的（注：还可能引起误导）。所以，可以得出结论，光滑（基本）层流的线性不稳定性与湍流转捩没有直接关系。

如上所述，对湍流转捩，线性稳定性理论的预测与实验数据相差较大的物理原因非常清楚。此后，对槽道流动，无需再讨论二维的线性稳定性理论的预测结果（Rec=5772）与实验结果（Rec=1000）之间的关系，因为它们分别代表了两种完全不同的流动物理现象或流动状态。

（四）总结：

根据窦华书的能量梯度理论研究的结果【2】，可以总结如下：

（1）线性稳定性理论及线性失稳，与湍流产生和湍流转捩，没有直接关系。如果后面没有非线性作用，湍流永远不会产生。湍流产生和湍流转捩，由非线性作用引起的奇点（速度间断）所唯一地决定【2】。

（2）线性失稳只能导致由一种层流变为另一种层流，不会导致湍流。例如Taylor-Couette流动中由层流Couette流动变为层流的Taylor cells；平板边界层流动的TS波失稳后变为三维的层流旋涡结构。Rayleigh–Bénard对流中由静止的液膜变为Bénard cells pattern。

（3）线性失稳可以导致一种静止旋涡变为一种运动的旋涡，但不会引起湍流。例如钝体绕流后面的漩涡，机翼表面上的分离泡，叶轮机械内部流动的旋转失速。然后，运动的层流漩涡发生非线性失稳后，才能引起湍流。

（4）按照文献【2】，“湍流产生/湍流转捩的充分和必要条件是流场中出现纳维-斯托克斯方程的奇点”。湍流转捩的临界条件，由流场中流向速度的间断引起的奇点唯一地决定。只有非线性作用才能modify流动的速度分布，才能导致这类奇点，引起湍流转捩。

备注：作者的上述这些研究【2】，发现(discovered)了湍流转捩的真正的物理机理，并与所有能够得到的实验数据符合一致，没有找到任何反例。据此，指出了线性稳定性理论预测的临界条件到底是对应着流动中的什么物理学状态，找到了线性稳定性理论与实验不一致的原因所在，结束了对线性稳定性理论的近一个世纪的质疑和争论【1】。本文中在几处地方已经特别注明了，作者的理解和看法与文献中的已有的看法有很大不同。以理论为指导，以事实为依据，论述讨论争议对事不对人，不惟权威。用红色标注的句子，都是根据能量梯度理论得到的结果由作者首次提出的【2】。读者可以自行判断。

参考文献

1. Grossmann, S., The onset of shear flow turbulence, Rev Mod Phys, 2000, 72, 603–618.

2. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.

   https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7

3. Lin, C.-C., The Theory of Hydrodynamic Stability, 1955, Cambridge Press, Cambridge.

4. White, F. M., Viscous Fluid Flow, 2nd edn., 1991, McGraw-Hill, New York.

5. Schlichting, H., Gersten, K., Boundary-Layer Theory, 9th edn., 2017, Springer.