纳维-斯托克斯方程是200年前由法国科学家纳维（Navier）和英国科学家斯托克斯（Stokes）建立的，用以描述流体流动。虽然这个方程已经被广泛应用于基础科学研究和工程领域，例如航空航天，大气科学，能源工程，流体机械，化学工程，生物力学，可控核聚变，等等，但是这个方程的数学性质还没有得到很好的理解。2000年，此方程被美国克雷数学研究所选为数学方面的7个千禧年大奖难题之一。虽然现在已经过去了25年，此问题的解决仍然看不到曙光。

      另一方面，纳维-斯托克斯（Navier-Stokes, 缩写NS）方程在流体力学上用来描述层流和湍流，目前对层流已经充分理解了，而湍流的问题还没有得到解决。自从1883年著名的雷诺圆管实验以来，140多年已经过去了，科学家和工程师包括若干位著名物理学家、应用数学家，包括至少六位诺贝尔奖获得者，对湍流问题进行了大量的理论、实验和计算研究，湍流问题仍然一直是科学界的世界难题。

（一）纳维-斯托克斯方程的奇异解与湍流产生纳维-斯托克斯方程的奇异解与湍流产生： 

       最近，窦华书教授基于自己创立的能量梯度理论，对平面泊肃叶(Poiseuille)流动的转捩流动，进行了严格的理论分析。在湍流产生的临界条件下，得到了纳维-斯托克斯方程的奇异解，此解的物理意义就是湍流的产生。对于其他流动，采用类似的推导步骤，仍然可以得到同样的结论。相关成果发表于2025年8月份的流体力学领域的国际著名旗舰期刊《流体物理学》(Physics of Fluids)。

       过去140多年来，人们一直认为湍流转捩是由于流动不稳定性发生，是非线性作用导致的。这种说法，非常笼统，没有给出湍流转捩过程发生的细节，没有揭示湍流现象的物理机理。只有用坚实的理论描述流动的瞬时速度怎么变化导致了湍流产生，才是可靠的理论，而且理论必须与计算和实验结果达到一致。也就是说，湍流产生的时候，速度和压力是怎么变化的，这才是解决湍流问题的真正关键。

       窦华书的研究首次发现了，外部扰动是怎样影响湍流转捩的，扰动对湍流转捩的最终影响，就是与基本流动相互作用，导致了流场中出现了纳维-斯托克斯方程的奇点。湍流的产生是由于在扰动作用下，流体微元体产生了沿着流向的拉伸和压缩。高的雷诺数是对牛顿流体，湍流产生的基本条件，但并不是湍流产生的内在机理。湍流产生的内在机理是对流项与粘性项的相互作用，在高雷诺数下，非线性作用改变了机械能的分布，导致速度剖面发生畸变，使得某些点上粘性作用消失，成为了无粘作用的点。这些点就成为了粘性流动的流场中的物理学奇点。奇点的失稳导致了速度的间断，形成了瞬时速度分布上的“尖劈(spike)”，即湍流的“猝发”。随着雷诺数增大，奇点的数量增多，当奇点数量达到一定程度，也就是说当流动中的旋涡级串完全形成的时候，流动就转捩成为湍流了。

（二）纳维-斯托克斯方程的解的存在性、唯一性和光滑性       

       窦华书的研究结果表明，纳维-斯托克斯方程存在确定性的唯一解(理论解唯一、数值解不唯一)。但是湍流中由于奇点的存在，纳维-斯托克斯方程的解在全局域上是不光滑的。      

       奇点在物理学上的定义与数学上的定义并不完全相同。奇点的物理学定义，是物理性质奇异的点，或者物理学定律失效的点。奇点的数学定义，把奇点分为两类，一是函数为无穷大的点，二是函数不可微分的点。物理学上的奇点，并不一定是数学定义上的奇点。纳维-斯托克斯方程的物理学奇点，是粘性流动中突然失去粘性作用的点。物理学奇点因为能量分布的奇异性，隐含了失稳的潜在性。在纳维-斯托克斯方程中，物理学上的奇点首先出现，然后在扰动影响下流动失稳，速度尖劈（spike）出现，导致了数学意义上的奇点发生

       目前，在纳维-斯托克斯方程的研究中，全世界的数学家几乎都是只考虑了第一类奇点，而没有考虑第二类奇点。实际上，根据能量梯度理论的分析和数值计算，纳维-斯托克斯方程的奇点，恰恰是发生在了第二类。纳维-斯托克斯方程中出现的这第二类奇点，是窦华书首次发现的，首次定义的，即速度间断而不可微分。理论结果，与直接数值模拟和大涡模拟的数值计算结果以及实验结果获得了一致。因此，数学家仅仅根据第一类奇点得到的NS方程是否存在光滑解的结果都是不可靠的。

       窦华书的研究结果显示表明纳维-斯托克斯方程不会出现速度无穷大（即爆炸Blow up）。2024年10月在西班牙巴塞罗那举行的流体动力学、几何学、计算机科学相互作用国际会议上，众多数学家对纳维-斯托克斯方程是否爆炸进行了投票，以著名美国华裔数学家陶哲轩为代表的大多数数学家倾向于认为NS方程会爆炸。窦华书研究结果显示，NS方程不存在导致爆炸的力。纳维-斯托克斯方程是一个隐含了能量守恒的方程，不存在引起爆炸的能量。 因而，纳维-斯托克斯方程是不会爆炸（Blow up）的。

（三）窦华书的研究结果推翻了前人140多年的湍流研究的相关结论：

    （1）过去140年以来，对纳维-斯托克斯方程，科学家普遍认为，当方程中的对流项的作用远大于粘性项的作用时，湍流就产生了。窦华书的研究显示湍流产生并不是取决于NS方程中对流项与粘性项的相对大小，而是取决于二者的相互作用，以及在此条件下奇点是否会产生。理论研究结果与实验结果获得了一致。

    （2）雷诺数不是决定湍流是否产生的关键参数，而是一个宏观的表征。流动中决定湍流是否产生的不是雷诺数。而是窦华书所定义的能量梯度函数，此函数的物理意义为一个当地雷诺数。当在某些点上此函数变为无穷大，此点就成为了NS方程的物理学奇点。

    （3）纳维-斯托克斯方程，当Re趋于无穷大时的极限，并不是欧拉方程（Euler方程）。当雷诺数趋于无穷大时，湍流中的奇点仍然存在，能量损失不会消失，流动并不趋于无粘流动。这个结论解释了尚未得到解决的湍流的零次定律，即当雷诺数趋于无穷大时，为什么能量耗散不趋于零。

（四）论文得到了匿名审稿专家的高度评价和认可。评审意见的机器翻译如下：

     （1）“作者一直在研究流体力学中一个长期存在且意义重大的问题，即纳维 - 斯托克斯方程解的特性。这也是我的研究兴趣所在，尤其是其在流动不稳定性和湍流转捩方面的应用。就我个人而言，我希望看到这篇有关这一重要课题的研究成果能在《流体物理学》杂志上发表。”

    （2）“本文严谨地分析了平面泊肃叶流中有限扰动下的纳维-斯托克斯方程，确定了瞬时流向速度的拉普拉斯算子（粘性项）消失的关键时刻，此时会产生奇点和理论上的速度不连续性（“负尖峰”），从而引发湍流。通过在这一临界点推导出精确解，并与经典实验进行验证，该研究提供了一个将扰动幅度、能量梯度消零和湍流起始联系起来的连贯物理机制。关键论点和方程得到了基础文献的有力支持。通过与经典和当代的转捩研究结果进行比较，本文有力地证明了其新颖性——此前的稳定性分析未曾识别出零拉普拉斯算子奇点——以及其相关性。分析推导内部一致，并经实验验证，证实了该研究的正确性。最后，“负速度尖峰”这一概念从消失的粘性项中浮现出来，既优雅又引人入胜，为湍流的起始提供了一个全新的视角，这将吸引数学家和实验人员的关注。总之，这篇论文通过解析奇点理论在理解湍流起始方面取得了重大进展，值得在《流体物理学》上发表。”

    （3）“很高兴地看到文章中采用了一些新的方法来解释湍流转捩机制（注：NS方程的“速度负尖峰”分析和涡量增长的数学分析）。本文作者试图用Navier-Stokes方程中奇点的存在来解释转捩的起始。文章通过多种数学方法，作者解释了瞬时速度的间断是如何导致湍流的。我推荐这篇论文在《流体物理学》上发表。”

论文信息与链接：

Hua-Shu Dou, Singular solution of the Navier-Stokes equation for plane Poiseuille flow, Physics of Fluids 37, 084131 (2025). https://doi.org/10.1063/5.0284009

作者简介：

       窦华书，博士，二级教授，博导，浙江省引进海外高层次人才特聘教授。1991年博士毕业于北京航空航天大学。1991－2011依次在清华大学、悉尼大学和新加坡国立大学工作。2011回国在浙江理工大学全职工作。2011-2021期间曾担任流体机械及工程省重点学科负责人，省重点科技创新团队负责人兼首席科学家，流体工程技术国际合作基地主任（国家级）。研究方向为流动稳定性和湍流，计算流体力学，激波与边界层干扰，燃烧与爆轰，非牛顿流动，热力叶轮机械，多相流动等。在国际会议上作邀请报告30余次，被国内外相关著名大学特邀讲学70余次。发表SCI论文80余篇，在国际著名出版社Springer出版专著二部，授权发明专利45件。曾获国家和省部级奖项3次。现为中国海洋工程学会常务理事、中国力学学会激波与激波管专委会委员、中国工程热物理学会流体机械专委会委员，美国航空航天学会AIAA Associate Fellow，国家科技部评审专家，在多所著名大学担任兼职教授。2024和2025年，入选全球2%顶尖科学家学术生涯影响力榜单。 2022年应邀在国际著名出版社Springer出版的湍流专著《Origin of Turbulence- Energy Gradient Theory》, https://doi.org/10.1007/978-981-19-0087-7 ，出版3年来，下载量达到了55000次，位列顶端（top of the published monographs）。